解説

方針・初手

係数が実数であるから、非実数解 $b+i$ をもつなら、その共役複素数 $b-i$ も解である。したがって、この3次方程式の解は

$$ 2,\ b+i,\ b-i $$

の3つである。これらを用いて解と係数の関係を使えば、$b$ と $a$ を順に求められる。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^3-x^2-\frac{3}{4}x+a=0 $$

である。

3次方程式

$$ x^3+px^2+qx+r=0 $$

の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、

$$ \alpha+\beta+\gamma=-p $$

が成り立つ。

この問題では解が $2,\ b+i,\ b-i$ であり、$x^2$ の係数は $-1$ なので、

$$ 2+(b+i)+(b-i)=1 $$

となる。虚数部分は打ち消し合うから、

$$ 2+2b=1 $$

よって、

$$ b=-\frac{1}{2} $$

である。

次に、解の積について

$$ \alpha\beta\gamma=-r $$

が成り立つ。この問題では定数項が $a$ であるから、

$$ 2(b+i)(b-i)=-a $$

となる。

ここで

$$ (b+i)(b-i)=b^2+1 $$

であり、$b=-\dfrac12$ を代入すると

$$ b^2+1=\frac14+1=\frac54 $$

だから、

$$ 2\cdot \frac54=-a $$

すなわち

$$ \frac52=-a $$

となる。したがって

$$ a=-\frac52 $$

である。

解説

この問題の要点は、係数が実数の多項式では非実数解が共役な組で現れることである。したがって、与えられた1つの複素数解 $b+i$ から、もう1つの解 $b-i$ がすぐに分かる。

そのうえで、3つの解がそろったので、解と係数の関係を使えば計算は機械的に進む。特に、共役複素数の積

$$ (b+i)(b-i)=b^2+1 $$

を正しく処理できるかが重要である。

答え

$$ a=-\frac52,\qquad b=-\frac12 $$

したがって、

$$ \boxed{a=-\frac52,\quad b=-\frac12} $$

である。