解説

方針・初手

$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ は $1$ の虚数立方根であり、$\omega^3=1$、また $\omega^2+\omega+1=0$ を満たす。まず $\omega^2,\omega^3$ を求める。

次に、（i） より $f(\sqrt{2})=0$ で、係数が整数であることから $-\sqrt{2}$ も根になることを用いる。したがって $f(x)$ は $x^2-2$ を因数にもつ。

最後に、（ii） の「$f(\omega)$ が実数」という条件から、$a,b,c$ の関係を決める。

解法1

まず $\omega$ のべきから求める。

$$ \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$

より、

$$ \omega^2=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 =\frac{1-2\sqrt{3}i+3i^2}{4} =\frac{1-2\sqrt{3}i-3}{4} =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。さらに、

$$ \omega^3=\omega\omega^2 =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\cdot \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} =\frac{1+3}{4} =1 $$

したがって、

$$ \boxed{\text{ア}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}},\qquad \boxed{\text{イ}=1} $$

である。

次に、$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が （i） $f(\sqrt{2})=0$ を満たすことを考える。

$a,b,c$ は整数なので、$\sqrt{2}$ が根ならその共役 $-\sqrt{2}$ も根である。よって $f(x)$ は

$$ x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) $$

を因数にもつ。$f(x)$ は3次式で最高次係数が $1$ だから、

$$ f(x)=(x^2-2)(x+m) $$

と表せる。ただし $m$ は整数である。これを展開すると、

$$ f(x)=x^3+mx^2-2x-2m $$

となるので、

$$ a=m,\qquad b=-2,\qquad c=-2m $$

である。

ここで （ii） $f(\omega)$ が実数となる条件を用いる。

$$ f(\omega)=\omega^3+a\omega^2+b\omega+c $$

であり、$\omega^3=1$ だから、

$$ f(\omega)=1+a\omega^2+b\omega+c $$

となる。$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$、$\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} f(\omega) &=1+c+a\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+b\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\ &=1+c-\frac{a+b}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(b-a)i \end{aligned} $$

となる。これが実数であるためには虚部が $0$ でなければならないから、

$$ b-a=0 $$

すなわち

$$ a=b $$

である。

すでに $b=-2$ なので、

$$ a=-2 $$

したがって $m=-2$ であり、

$$ c=-2m=4 $$

となる。

よって、

$$ \boxed{a=-2},\qquad \boxed{b=-2},\qquad \boxed{c=4} $$

である。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、$\omega$ が $1$ の虚数立方根であり、

$$ \omega^3=1,\qquad \omega^2+\omega+1=0 $$

を満たすことである。

2つ目は、整数係数多項式に $\sqrt{2}$ が根として現れるなら、$-\sqrt{2}$ も根になることである。これにより $x^2-2$ が因数と分かり、未知数が1つに減る。

その上で、$f(\omega)$ が実数という条件は「虚部が $0$」と言い換えればよく、そこから $a=b$ が得られる。条件の使い方が明確で、処理しやすい問題である。

答え

$$ \text{ア}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\qquad \text{イ}=1 $$

$$ \text{ウ}=-2,\qquad \text{エ}=-2,\qquad \text{オ}=4 $$