解説

方針・初手

係数 $a,b$ は実数であるから、複素数 $1+i$ が解ならその共役複素数 $1-i$ も解である。したがって、3つの解を

$$ 1+i,\ 1-i,\ \alpha $$

とおき、解と係数の関係を用いて $\alpha,a,b$ を求めればよい。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^3+ax^2+8x+b=0 $$

である。

$a,b$ は実数なので、$1+i$ が解であれば $1-i$ も解である。よって3つの解を

$$ 1+i,\ 1-i,\ \alpha $$

とする。

このとき、解と係数の関係より

$$ (1+i)+(1-i)+\alpha=-a $$

であるから、

$$ 2+\alpha=-a \qquad \cdots (1) $$

また、2つずつの積の和は $8$ なので、

$$ (1+i)(1-i)+(1+i)\alpha+(1-i)\alpha=8 $$

ここで

$$ (1+i)(1-i)=1-i^2=2 $$

かつ

$$ (1+i)\alpha+(1-i)\alpha=\alpha{(1+i)+(1-i)}=2\alpha $$

より、

$$ 2+2\alpha=8 $$

したがって、

$$ 2\alpha=6 $$

$$ \alpha=3 $$

これを (1) に代入すると、

$$ 2+3=-a $$

$$ a=-5 $$

さらに、3解の積は $-b$ であるから、

$$ (1+i)(1-i)\alpha=-b $$

すなわち

$$ 2\cdot 3=-b $$

$$ 6=-b $$

$$ b=-6 $$

解説

この問題の要点は、実数係数の多項式では複素数解が共役な組で現れることである。したがって $1+i$ を見た時点で $1-i$ も解だと判断し、残り1つの解を文字でおいて解と係数の関係を使うのが最も自然である。

無理に因数分解を展開して比較しても解けるが、3次方程式では解と係数の関係を使うほうが計算が整理しやすい。

答え

$$ a=-5,\qquad b=-6 $$