解説

方針・初手

$\alpha,\beta,\gamma$ は方程式

$$ x^3+x+1=0 $$

の解である。したがって、それぞれについて $\alpha^3+\alpha+1=0$、$\beta^3+\beta+1=0$、$\gamma^3+\gamma+1=0$ が成り立つ。これをそのまま足し合わせればよい。

解法1

恒等式

$$ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+x+1 $$

より、$\alpha,\beta,\gamma$ はいずれも方程式

$$ x^3+x+1=0 $$

の解である。

よって

$$ \alpha^3+\alpha+1=0,\quad \beta^3+\beta+1=0,\quad \gamma^3+\gamma+1=0 $$

であるから、3式を辺々加えると

$$ (\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)+(\alpha+\beta+\gamma)+3=0 $$

を得る。

ここで、与えられた恒等式を展開形と比較すると、

$$ \alpha+\beta+\gamma=0 $$

である。

したがって

$$ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3+3=0 $$

より

$$ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-3 $$

となる。

解法2

恒等式

$$ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) =x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma $$

と

$$ x^3+x+1 $$

を比較すると、

$$ \alpha+\beta+\gamma=0,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1,\quad \alpha\beta\gamma=-1 $$

である。

ここで恒等式

$$ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 =(\alpha+\beta+\gamma)^3-3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma $$

を用いると、

$$ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 =0^3-3\cdot 0\cdot 1+3(-1) =-3 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\alpha,\beta,\gamma$ を具体的に求める必要がないことである。根と係数の関係を使うか、各根が方程式 $x^3+x+1=0$ を満たすことを直接使えば、和 $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ はすぐに求まる。

特に解法1は、各根について $t^3=-t-1$ を得て和をとるだけなので、最も簡潔である。

答え

$$ -3 $$