解説

方針・初手

まず $P(i),P(-i)$ を直接計算すると，$i,-i$ が $P(x)$ の解であるかどうかが分かる。$i,-i$ が解ならば，$P(x)$ は $x^2+1$ を因数にもつので，（2） の実数解は残りの2次式から求まる。

（3） は，$P(x)$ と $Q(x)$ の差を考えるのが最も自然である。4点 $x=\pm1,\pm2$ で値が一致するので，差の多項式はそれらを根にもつことを用いる。

解法1

**(1)**

$$ P(i)=i^4+i^3+i-1 $$

であり，$i^2=-1$ より $i^4=1,\ i^3=-i$ だから，

$$ P(i)=1-i+i-1=0 $$

同様に，

$$ P(-i)=(-i)^4+(-i)^3+(-i)-1 $$

ここで $(-i)^2=-1,\ (-i)^4=1,\ (-i)^3=i$ であるから，

$$ P(-i)=1+i-i-1=0 $$

したがって，

$$ P(i)=0,\quad P(-i)=0 $$

である。

**(2)**

（1） より $i,-i$ は方程式 $P(x)=0$ の解である。したがって $x^2+1$ は $P(x)$ の因数である。

そこで $P(x)$ を $x^2+1$ で因数分解すると，

$$ P(x)=x^4+x^3+x-1=(x^2+1)(x^2+x-1) $$

実際，

$$ (x^2+1)(x^2+x-1)=x^4+x^3-x^2+x^2+x-1=x^4+x^3+x-1 $$

である。

よって，

$$ P(x)=0 $$

は

$$ (x^2+1)(x^2+x-1)=0 $$

と同値である。このうち $x^2+1=0$ は実数解をもたないので，実数解は

$$ x^2+x-1=0 $$

の解である。解の公式より，

$$ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt5}{2} $$

したがって，実数解は

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1-\sqrt5}{2} $$

である。

**(3)**

$$ R(x)=P(x)-Q(x) $$

とおく。

条件より，

$$ Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),\quad Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2) $$

であるから，

$$ R(1)=R(-1)=R(2)=R(-2)=0 $$

となる。したがって $R(x)$ は $x=1,-1,2,-2$ を根にもつ。

また，$P(x)$ は4次式，$Q(x)$ は3次以下の整式なので，$R(x)=P(x)-Q(x)$ は4次式で，その最高次の係数は $1$ である。

よって，

$$ R(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$

と定まる。これを展開すると，

$$ R(x)=(x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4 $$

したがって，

$$ Q(x)=P(x)-R(x) $$

より，

$$ Q(x)=(x^4+x^3+x-1)-(x^4-5x^2+4) $$

ゆえに，

$$ Q(x)=x^3+5x^2+x-5 $$

である。

解説

この問題の要点は，複素数 $i,-i$ を代入して得られる情報を因数分解につなげることである。$P(i)=P(-i)=0$ と分かれば，実数係数の多項式である以上 $x^2+1$ が因数になるので，4次式が一気に2次式まで落ちる。

また （3） では，値が一致するという条件を見たら，差 $P(x)-Q(x)$ を考えるのが典型である。差が4点で $0$ になる以上，その4点を根にもつ多項式として表せる。さらに最高次係数まで見れば，差の多項式が一意に決まり，$Q(x)$ もただちに求まる。

答え

**(1)**

$$ P(i)=0,\quad P(-i)=0 $$

**(2)**

方程式 $P(x)=0$ の実数解は

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1-\sqrt5}{2} $$

**(3)**

$$ Q(x)=x^3+5x^2+x-5 $$