解説

方針・初手

与えられた3条件は対称式になっているので、まず $xy+yz+zx$ と $x+y+z$ を順に求めるのが自然である。

特に

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &= \frac{xy+yz+zx}{xyz} \end{aligned} $$

であるから、$xyz=8$ を用いれば $(1)$ はすぐに求まる。さらに

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

を使えば $(2)$ が出る。最後に、$x,y,z$ を3解にもつ3次方程式を作れば $(3)$ も決定できる。

解法1

まず

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &= \frac{xy+yz+zx}{xyz} \end{aligned} $$

より、

$$ \frac{xy+yz+zx}{8}=\frac{7}{4} $$

である。したがって

$$ xy+yz+zx=14 $$

となる。よって $(1)$ の答えは $14$ である。

次に、

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

に $x^2+y^2+z^2=21,;xy+yz+zx=14$ を代入すると、

$$ (x+y+z)^2=21+2\cdot 14=49 $$

を得る。$x,y,z$ は正の数であるから $x+y+z>0$ であり、

$$ x+y+z=7 $$

となる。よって $(2)$ の答えは $7$ である。

最後に、$x,y,z$ を解にもつ3次方程式を考える。解と係数の関係より、

$$ t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0 $$

すなわち

$$ t^3-7t^2+14t-8=0 $$

を得る。これを因数分解すると、

$$ \begin{aligned} t^3-7t^2+14t-8 &= (t-1)(t^2-6t+8) \\ (t-1)(t-2)(t-4) \end{aligned} $$

である。したがって $x,y,z$ は $1,2,4$ の並べ替えである。

さらに $x\leqq y\leqq z$ であるから、

$$ x=1,\quad y=2,\quad z=4 $$

となる。

解説

この問題の要点は、与えられた条件をそのまま個別に扱うのではなく、対称式としてまとめることである。

まず逆数和の式から $xy+yz+zx$ を出し、次に平方和の式から $x+y+z$ を出す。この2つと $xyz$ がそろえば、$x,y,z$ を解にもつ3次方程式が一意に定まる。3変数の対称式の典型的な処理であり、受験では頻出の流れである。

答え

**(1)**

$$ xy+yz+zx=14 $$

**(2)**

$$ x+y+z=7 $$

**(3)**

$$ x=1,\quad y=2,\quad z=4 $$