解説

方針・初手

$1,3$ がこの4次方程式の実数解であるから，多項式

$$ P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+3 $$

は $(x-1)(x-3)$ を因数にもつ。

したがって

$$ P(x)=(x-1)(x-3)(x^2+px+q) $$

とおける。定数項に注目して $q$ を定め，残りの2根がどのようなときに「実数解が $1,3$ のみ」となるかを調べればよい。

解法1

$P(x)$ は首項係数が $1$ の整式であり，$(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ で割り切れるから，

$$ P(x)=(x^2-4x+3)(x^2+px+q) $$

とおける。ただし $p,q$ は整数である。

定数項を比較すると

$$ 3q=3 $$

より，

$$ q=1 $$

である。よって

$$ P(x)=(x^2-4x+3)(x^2+px+1) $$

となる。

これを展開すると

$$ \begin{aligned} P(x) &=x^4+(p-4)x^3+(4-4p)x^2+(3p-4)x+3 \end{aligned} $$

であるから，

$$ a=p-4 $$

である。

ここで，4次方程式の実数解が $1,3$ のみであるためには，2次式

$$ x^2+px+1 $$

が新たな実数解をもってはならない。ただし，$x=1$ を重解にもつ場合だけは，実数解の種類としては $1,3$ のままである。

そこで場合分けする。

**(i)**

$x^2+px+1$ が実数解をもたない場合

判別式より

$$ p^2-4<0 $$

であるから，

$$ -2<p<2 $$

となる。$p$ は整数なので

$$ p=-1,0,1 $$

である。

**(ii)**

$x^2+px+1$ が実数解をもつが，その実数解が $1$ または $3$ に一致する場合

定数項が $1$ であるから，2つの根の積は $1$ である。

もし $1$ を根にもつなら，もう一方の根も $1$ である。したがって

$$ x^2+px+1=(x-1)^2=x^2-2x+1 $$

より

$$ p=-2 $$

である。

一方，$3$ を根にもつなら，もう一方の根は $\dfrac13$ となるので，係数が整数であることに反する。したがってこれは不可能である。

以上より，可能な $p$ は

$$ p=-2,-1,0,1 $$

である。したがって

$$ a=p-4 $$

より，可能な $a$ は

$$ a=-6,-5,-4,-3 $$

である。

よって最大値は $-3$，最小値は $-6$ である。

解説

この問題の要点は，$1,3$ を根にもつことから $(x-1)(x-3)$ で因数分解し，残りの2次式の性質を調べることである。

特に注意すべきなのは，「実数解が $1,3$」という条件は，残りの2根が非実数であればよいだけでなく，$x=1$ の重解になる場合も許されることである。この見落としをすると，最小値を $-5$ と誤る。

答え

最大値は $-3$，最小値は $-6$ である。

したがって，

$$ \boxed{\text{イ}=-3},\qquad \boxed{\text{ウ}=-6} $$