解説

方針・初手

（1） は正接の加法定理から倍角公式・3倍角公式を作ればよい。

（2） は $t=\tan \dfrac{\pi}{8}$ とおき，$\tan \dfrac{\pi}{4}=1$ を用いる。

（3） は （1） の3倍角公式と （2） の $\tan \dfrac{3\pi}{8}=1+\sqrt{2}$ を用いて，3次方程式を $\tan 3\theta=\tan \dfrac{3\pi}{8}$ の形に直すのが自然である。

解法1

**(1)**

$t=\tan \theta$ とおく。

正接の加法定理より，

$$ \tan(2\theta)=\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan^2\theta} =\frac{2t}{1-t^2} $$

である。

さらに，

$$ \tan(3\theta)=\tan(2\theta+\theta) =\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta\tan\theta} $$

であるから，$\tan2\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}$ を代入すると，

$$ \tan(3\theta) =\frac{\dfrac{2t}{1-t^2}+t}{1-\dfrac{2t}{1-t^2}t} =\frac{\dfrac{2t+t-t^3}{1-t^2}}{\dfrac{1-t^2-2t^2}{1-t^2}} =\frac{3t-t^3}{1-3t^2} $$

したがって，

$$ \tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}, \qquad \tan(3\theta)=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} $$

である。

**(2)**

$t=\tan\dfrac{\pi}{8}$ とおく。

すると $2\cdot\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$ より，

$$ \tan\frac{\pi}{4}=\tan\left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)=1 $$

であるから，（1） の倍角公式より

$$ \frac{2t}{1-t^2}=1 $$

となる。これを整理すると，

$$ t^2+2t-1=0 $$

よって，

$$ t=-1\pm\sqrt{2} $$

である。ここで $0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\tan\dfrac{\pi}{8}>0$ であるから，

$$ \tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$

を得る。

また，

$$ \tan\frac{3\pi}{8} =\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =\cot\frac{\pi}{8} =\frac{1}{\tan\frac{\pi}{8}} =\frac{1}{\sqrt2-1} =\sqrt2+1 $$

である。

**(3)**

$a=1+\sqrt2$ とおくと，（2） より

$$ a=\tan\frac{3\pi}{8} $$

である。

与えられた方程式は

$$ X^3-3aX^2-3X+a=0 $$

であり，これを整理すると，

$$ X^3-3X=a(3X^2-1) $$

となる。

ここで $3X^2-1=0$ すなわち $X=\pm \dfrac1{\sqrt3}$ は，元の方程式に代入しても $0$ にならないから，解については $3X^2-1\neq 0$ である。よって両辺を $3X^2-1$ で割って，

$$ \frac{X^3-3X}{3X^2-1}=a=\tan\frac{3\pi}{8} $$

を得る。

任意の実数 $X$ は $X=\tan\theta$ と表せるから，

$$ \frac{X^3-3X}{3X^2-1} =\frac{\tan^3\theta-3\tan\theta}{3\tan^2\theta-1} =\tan3\theta $$

である。したがって，

$$ \tan3\theta=\tan\frac{3\pi}{8} $$

となるので，

$$ 3\theta=\frac{3\pi}{8}+n\pi \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{3} $$

である。

よって，

$$ X=\tan\theta=\tan\left(\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{3}\right) $$

となる。$\tan$ の周期は $\pi$ であるから，異なる実数解は $n=0,1,2$ の3個で尽くされる。

まず $n=0$ のとき，

$$ X=\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1 $$

である。

したがって，元の3次式は $(X-\sqrt2+1)$ を因数にもつ。実際に割ると，

$$ X^3-3(1+\sqrt2)X^2-3X+1+\sqrt2 =(X-\sqrt2+1){X^2-(4+2\sqrt2)X-(3+2\sqrt2)} $$

となる。

よって残りの2解は

$$ X^2-(4+2\sqrt2)X-(3+2\sqrt2)=0 $$

の解であり，

$$ X=\frac{4+2\sqrt2\pm\sqrt{(4+2\sqrt2)^2+4(3+2\sqrt2)}}{2} $$

である。判別式を整理すると，

$$ (4+2\sqrt2)^2+4(3+2\sqrt2) =36+24\sqrt2 =4(9+6\sqrt2) =4(\sqrt6+\sqrt3)^2 $$

だから，

$$ X=2+\sqrt2\pm(\sqrt6+\sqrt3) $$

を得る。

以上より，実数解は

$$ X=\sqrt2-1,\quad 2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6,\quad 2+\sqrt2-\sqrt3-\sqrt6 $$

である。

解説

この問題の核は，3次方程式をそのまま代数的に処理することではなく，

$$ \tan3\theta=\frac{\tan^3\theta-3\tan\theta}{3\tan^2\theta-1} $$

という3倍角公式に一致する形を見抜くことである。

（2） で $\tan\dfrac{3\pi}{8}=1+\sqrt2$ を出しておくと，（3） の係数 $1+\sqrt2$ がただの無意味な定数ではなく，角の正接であることが分かる。そこまで見抜ければ，3次方程式は三角比の合同式に落ち，実数解が自然に3個得られる。

答え

**(1)**

$$ \tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}, \qquad \tan(3\theta)=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} $$

**(2)**

$$ \tan\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1, \qquad \tan\frac{3\pi}{8}=1+\sqrt2 $$

**(3)**

実数解は

$$ X=\sqrt2-1,\quad 2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6,\quad 2+\sqrt2-\sqrt3-\sqrt6 $$

である。