基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次不等式」の問題1 解説
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解説
方針・初手
与えられた不等式を一方にまとめ、3次式の符号を調べる。まずは因数分解できる形に整理するのが初手である。
解法1
与えられた不等式
$$ 9x^2+5x-12>x^3+x^2-4x+60 $$
を左辺に移項すると、
$$ -x^3+8x^2+9x-72>0 $$
となる。両辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが逆になり、
$$ x^3-8x^2-9x+72<0 $$
を得る。
この3次式を因数分解する。$x=3$ を代入すると
$$ 3^3-8\cdot 3^2-9\cdot 3+72=27-72-27+72=0 $$
であるから、$x-3$ を因数にもつ。
よって
$$ x^3-8x^2-9x+72=(x-3)(x^2-5x-24) $$
さらに
$$ x^2-5x-24=(x-8)(x+3) $$
であるから、
$$ x^3-8x^2-9x+72=(x-3)(x-8)(x+3) $$
となる。
したがって不等式は
$$ (x-3)(x-8)(x+3)<0 $$
である。
ここで $x$ は正数なので $x>0$ であり、特に $x+3>0$ である。よって符号を決めるのは $(x-3)(x-8)$ だけであるから、
$$ (x-3)(x-8)<0 $$
となる。
よって
$$ 3<x<8 $$
である。
解説
3次不等式は、まず一方にまとめて因数分解し、各因数の符号を調べるのが基本である。この問題では「$x$ は正数」という条件があるため、$x+3>0$ が常に成り立ち、符号判定がかなり簡単になる。条件を途中で使うことが重要である。
答え
$$ 3<x<8 $$
したがって、
**(ア)**
$3$、（イ） $8$ である。