解説

方針・初手

まず左辺を因数分解して、4つの実数解の位置関係を調べる。

この式は定数項が $0$ なので $x$ をくくることができ、さらに $x=1$ を代入すると $0$ になるので $(x-1)$ でも割れる。したがって

$$ x^4-5x^3-(a^2-8)x^2+(a+2)(a-2)x $$

を $x(x-1)$ まで因数分解し、残った2次式の解を求めればよい。

解法1

まず左辺を整理すると

$$ \begin{aligned} x^4-5x^3-(a^2-8)x^2+(a+2)(a-2)x &= x^4-5x^3+(8-a^2)x^2+(a^2-4)x \end{aligned} $$

である。

これより

$$ \begin{aligned} &x^4-5x^3+(8-a^2)x^2+(a^2-4)x \\ &=x\left(x^3-5x^2+(8-a^2)x+(a^2-4)\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで、立方式の部分に $x=1$ を代入すると

$$ 1-5+(8-a^2)+(a^2-4)=0 $$

となるから、$(x-1)$ を因数にもつ。実際に割ると

$$ x^3-5x^2+(8-a^2)x+(a^2-4) =(x-1)(x^2-4x+4-a^2) $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} x^4-5x^3-(a^2-8)x^2+(a+2)(a-2)x &=x(x-1)(x^2-4x+4-a^2) \\ &=x(x-1){(x-2)^2-a^2} \\ &=x(x-1)(x-(2-a))(x-(2+a)) \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ x(x-1)(x^2+[ア]x+[イ])=x(x-1)(x-\alpha)(x-\beta) $$

において

$$ [ア]=-4,\qquad [イ]=4-a^2 $$

であり、

$$ \alpha=2-a,\qquad \beta=2+a $$

である。

したがって

$$ [ウ]=2-a,\qquad [エ]=2+a $$

である。

次に、不等式

$$ x(x-1)(x-(2-a))(x-(2+a))\geqq 0 $$

を解く。

4次式で最高次の係数は正であり、4つの1次因子はいずれも重解ではない（ただし境界では重なることがある）ので、根を小さい順に並べて符号を調べればよい。

**(i)**

$0<a<1$ のとき

$$ 0<1<2-a<2+a $$

であるから、根の並びは

$$ 0,\ 1,\ 2-a,\ 2+a $$

である。よって符号は右から交互に変わり、

$$ x\leqq 0,\qquad 1\leqq x\leqq 2-a,\qquad 2+a\leqq x $$

となる。

したがって

$$ [オ]=0,\qquad [カ]=1,\qquad [キ]=2-a,\qquad [ク]=2+a $$

である。

**(ii)**

$1\leqq a<2$ のとき

$$ 0<2-a\leqq 1<2+a $$

であるから、根の並びは

$$ 0,\ 2-a,\ 1,\ 2+a $$

である。よって

$$ x\leqq 0,\qquad 2-a\leqq x\leqq 1,\qquad 2+a\leqq x $$

となる。

したがって

$$ [ケ]=0,\qquad [コ]=2-a,\qquad [サ]=1,\qquad [シ]=2+a $$

である。

**(iii)**

$2\leqq a$ のとき

$$ 2-a\leqq 0<1<2+a $$

であるから、根の並びは

$$ 2-a,\ 0,\ 1,\ 2+a $$

である。よって

$$ x\leqq 2-a,\qquad 0\leqq x\leqq 1,\qquad 2+a\leqq x $$

となる。

したがって

$$ [ス]=2-a,\qquad [セ]=0,\qquad [ソ]=1,\qquad [タ]=2+a $$

である。

解説

この問題の要点は、4次不等式をそのまま扱わず、まず完全に因数分解することである。

$x=0,1$ が因数からすぐ見つかり、残りの2次式も

$$ x^2-4x+4-a^2=(x-2)^2-a^2 $$

と見れば、根が $2-a,\ 2+a$ とすぐ分かる。あとは $a$ の値によって $2-a$ の位置が $1$ や $0$ とどう前後するかを調べれば、解の区間は機械的に決まる。

場合分けの境目が $a=1,\ 2$ になるのは、$2-a=1,\ 0$ となって根の順序が変わるからである。

答え

**(1)**

$$ [ア]=-4,\qquad [イ]=4-a^2,\qquad [ウ]=2-a,\qquad [エ]=2+a $$

**(2)**

**(i)**

$0<a<1$ のとき

$$ [オ]=0,\qquad [カ]=1,\qquad [キ]=2-a,\qquad [ク]=2+a $$

すなわち

$$ x\leqq 0,\qquad 1\leqq x\leqq 2-a,\qquad 2+a\leqq x $$

**(ii)**

$1\leqq a<2$ のとき

$$ [ケ]=0,\qquad [コ]=2-a,\qquad [サ]=1,\qquad [シ]=2+a $$

すなわち

$$ x\leqq 0,\qquad 2-a\leqq x\leqq 1,\qquad 2+a\leqq x $$

**(iii)**

$2\leqq a$ のとき

$$ [ス]=2-a,\qquad [セ]=0,\qquad [ソ]=1,\qquad [タ]=2+a $$

すなわち

$$ x\leqq 2-a,\qquad 0\leqq x\leqq 1,\qquad 2+a\leqq x $$