解説

方針・初手

与えられた式を

$$ P(x)=(a^2-1)x^3+(-a+b+1)x^2+(ab-b-4)x+4a-3b+4 $$

とおく。

これがすべての実数 $x$ に対して $P(x)>0$ となるためには、まず $P(x)$ が奇数次式であってはならない。三次の項が残ると、$x\to\infty$ と $x\to-\infty$ で符号が変わってしまい、全ての実数で正にはなれないからである。

したがって、まず $x^3$ の係数を $0$ にすることから始める。

解法1

$x^3$ の係数が $0$ であるから、

$$ a^2-1=0 $$

より

$$ a=\pm 1 $$

である。

以下、場合分けする。

**(i)**

$a=1$ のとき

$$ P(x)=bx^2-4x+(8-3b) $$

となる。

これがすべての実数 $x$ に対して正であるためには、二次式として

$$ b>0,\qquad D<0 $$

が必要十分である。ただし $D$ は判別式である。

判別式を計算すると、

$$ D=(-4)^2-4b(8-3b) =16-32b+12b^2 =4(3b^2-8b+4) $$

である。よって

$$ D<0 \iff 3b^2-8b+4<0 \iff (3b-2)(b-2)<0 $$

となるから、

$$ \frac23<b<2 $$

を得る。$b$ は整数なので

$$ b=1 $$

のみである。

このとき

$$ P(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0 $$

であり、条件を満たす。

したがって、この場合は

$$ (a,b)=(1,1) $$

である。

**(ii)**

$a=-1$ のとき

$$ P(x)=(b+2)x^2-(2b+4)x-3b $$

となる。

まず $b=-2$ のときを見ると、

$$ P(x)=6>0 $$

となり、条件を満たす。よって

$$ (a,b)=(-1,-2) $$

は適する。

次に $b\neq -2$ のとき、$P(x)$ は二次式であるから、すべての実数 $x$ に対して正であるための条件は

$$ b+2>0,\qquad D<0 $$

である。

判別式は

$$ D=(-(2b+4))^2-4(b+2)(-3b) $$

より

$$ \begin{aligned} D &=(2b+4)^2+12b(b+2) \\ &=4(b+2)^2+12b(b+2) \\ &=4(b+2)(b+2+3b) \\ &=4(b+2)(4b+2) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ D<0 \iff (b+2)(4b+2)<0 \iff (b+2)(2b+1)<0 $$

となる。

これより

$$ -2<b<-\frac12 $$

を得る。$b$ は整数なので

$$ b=-1 $$

のみである。

このとき

$$ P(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0 $$

であり、条件を満たす。

したがって、この場合は

$$ (a,b)=(-1,-1),\ (-1,-2) $$

である。

以上より、求める整数の組は

$$ (a,b)=(1,1),\ (-1,-1),\ (-1,-2) $$

である。

解説

この問題の要点は、まず「すべての実数 $x$ で正」という条件から、三次式は不可能だと見抜くことである。奇数次多項式は $x\to\infty$ と $x\to-\infty$ で値の符号が逆方向に振れるため、全ての実数で正にはなれない。

その後は二次式の標準条件

$$ \text{二次の係数}>0,\qquad \text{判別式}<0 $$

を用いればよい。ただし、二次の係数が $0$ になる場合は一次式や定数式に落ちるので、そこを別に確認する必要がある。この問題では $a=-1,\ b=-2$ のときに定数 $6$ となる点を見落とさないことが重要である。

答え

$$ (a,b)=(1,1),\ (-1,-1),\ (-1,-2) $$