解説

方針・初手

与えられた3次式は、まず整数根や $x=a$ を代入して因数分解できる形かを調べるのが自然である。

実際に $x=a$ を代入すると $0$ になるので、$(x-a)$ を因数にもつ。さらに残りも因数分解して、3つの実数解の大小関係を $a$ の値で場合分けすれば、不等式の解がそのまま読める。

解法1

$f(x)$ を

$$ f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a-3)x+3a $$

とおく。

まず $x=a$ を代入すると

$$ \begin{aligned} f(a) &=a^3-(a+2)a^2+(2a-3)a+3a \\ &=a^3-a^3-2a^2+2a^2-3a+3a \\ &=0 \end{aligned} $$

となるから、$f(x)$ は $(x-a)$ を因数にもつ。

さらに $x=-1$ を代入すると

$$ \begin{aligned} f(-1) &=-1-(a+2)- (2a-3)+3a \\ &=-1-a-2-2a+3+3a \\ &=0 \end{aligned} $$

より、$(x+1)$ も因数にもつ。

したがって

$$ f(x)=(x-a)(x+1)(x-b) $$

とおける。定数項を比較すると

$$ (-a)\cdot 1\cdot (-b)=ab=3a $$

であり、$a>0$ だから

$$ b=3 $$

となる。よって

$$ f(x)=(x+1)(x-a)(x-3) $$

である。

したがって不等式

$$ x^3-(a+2)x^2+(2a-3)x+3a\leqq 0 $$

は

$$ (x+1)(x-a)(x-3)\leqq 0 $$

と同値である。

ここで $a>0$ なので、$-1<a$ は常に成り立つ。あとは $a$ と $3$ の大小で場合分けする。

**(i)**

$0<a<3$ のとき

このとき根の並びは

$$ -1<a<3 $$

である。3次式で最高次の係数は正だから、符号は左から順に

$$ -,\ +,\ -,\ + $$

と変化する。したがって

$$ (x+1)(x-a)(x-3)\leqq 0 $$

の解は

$$ x\leqq -1,\quad a\leqq x\leqq 3 $$

である。

**(ii)**

$a=3$ のとき

このとき

$$ (x+1)(x-a)(x-3)=(x+1)(x-3)^2 $$

となる。$(x-3)^2\geqq 0$ だから、符号は $x+1$ によって決まる。ただし $x=3$ では等号が成り立つ。

よって解は

$$ x\leqq -1,\quad x=3 $$

である。

**(iii)**

$a>3$ のとき

このとき根の並びは

$$ -1<3<a $$

である。同様に符号を調べると、

$$ (x+1)(x-a)(x-3)\leqq 0 $$

の解は

$$ x\leqq -1,\quad 3\leqq x\leqq a $$

である。

以上を問題文の空欄と対応させると、

$$ \boxed{\text{ア}=3,\ \text{イ}=1,\ \text{ウ}=3} $$

となる。

解説

この問題の核心は、3次式を正しく因数分解することである。

特に $x=a$ を代入すると $0$ になることに気づけるかが初手として重要である。さらに $x=-1$ も根であることを見つければ、残りの根は係数比較や定数項比較からすぐに $3$ と分かる。

あとは根 $-1,a,3$ の並びが $a$ と $3$ の大小で入れ替わるため、そこだけを丁寧に場合分けすればよい。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=3,\ \text{イ}=1,\ \text{ウ}=3} $$

したがって解は

**(1)**

$0<a<3$ のとき

$$ x\leqq -1,\quad a\leqq x\leqq 3 $$

**(2)**

$a=3$ のとき

$$ x\leqq -1,\quad x=3 $$

**(3)**

$a>3$ のとき

$$ x\leqq -1,\quad 3\leqq x\leqq a $$