解説

方針・初手

解と係数の関係を用いる。まず

$$ \alpha\beta=1,\qquad \alpha+\beta=-s $$

を求めれば，$\beta=\dfrac{1}{\alpha}$ と分かるので，$\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$，$\alpha^2+\dfrac{1}{\alpha^2}$，$\alpha^4+\dfrac{1}{\alpha^4}$ を順に計算できる。

また，$\alpha$ が虚数である条件は，2次方程式の判別式が負であることから決まる。

解法1

2次方程式

$$ x^2+sx+1=0 $$

の解を $\alpha,\beta$ とすると，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-s,\qquad \alpha\beta=1 $$

である。したがって

$$ \alpha\beta=1 $$

より，$\beta=\dfrac{1}{\alpha}$ であるから，

$$ \alpha+\frac{1}{\alpha}=\alpha+\beta=-s $$

となる。よって **①** は $1$，**②** は $-s$ である。

次に，

$$ \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} =\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2-2 =(-s)^2-2 =s^2-2 $$

より，**③** は $s^2-2$ である。

さらに，

$$ \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} =\left(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}\right)^2-2 =(s^2-2)^2-2 =s^4-4s^2+2 $$

となるので，**④** は $s^4-4s^2+2$ である。

ここで，$\alpha$ が虚数であるための条件を調べる。判別式を $D$ とすると，

$$ D=s^2-4 $$

であるから，$\alpha$ が虚数であるのは

$$ s^2-4<0 $$

すなわち

$$ -2<s<2 $$

のときである。

このとき $t=s^2$ とおくと，

$$ 0\leqq t<4 $$

であり，

$$ \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} =s^4-4s^2+2 =t^2-4t+2 =(t-2)^2-2 $$

と書ける。

したがって最小値は $t=2$ のときの

$$ -2 $$

である。また，$0\leqq t<4$ において最大値は $t=0$ のときにとり，

$$ 2 $$

である。

ゆえに，

$$ -2\leqq \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}\leqq 2 $$

となるので，**⑤** は $-2$，**⑥** は $2$ である。

また，

$$ \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}=-2 $$

となるのは

$$ (t-2)^2=0 $$

すなわち

$$ t=2 $$

のときであり，これは

$$ s^2=2 $$

より

$$ s=\pm\sqrt{2} $$

である。よって **⑦** は $\pm\sqrt{2}$ である。

解説

この問題の要点は，$\alpha\beta=1$ から $\beta=\dfrac{1}{\alpha}$ を読み取ることである。これにより，解と係数の関係から $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}=-s$ がすぐに出る。

その後は，

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 $$

という標準的な変形を繰り返せばよい。

また，$\alpha$ が虚数である条件は判別式 $s^2-4<0$ であり，そこから $s$ の範囲を出して，最後は $s^2=t$ とおくと2次関数として処理できる。

答え

**①** $1$

**②** $-s$

**③** $s^2-2$

**④** $s^4-4s^2+2$

**⑤** $-2$

**⑥** $2$

**⑦** $\pm\sqrt{2}$