解説

方針・初手

第1の方程式の解を $\alpha,\beta$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=a,\qquad \alpha\beta=b $$

が成り立つ。

また、第2の方程式の解が $\alpha^2,\beta^2$ であるから、こちらにも解と係数の関係を適用する。 すると $\alpha^2+\beta^2,\ \alpha^2\beta^2$ を $a,b$ で表した式が得られるので、それを連立して $a,b$ を決めればよい。 最後に、第1の方程式が「2つの虚数解」をもつ条件で候補を絞る。

解法1

第1の方程式

$$ x^2-ax+b=0 $$

の解が $\alpha,\beta$ であるから、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=a,\qquad \alpha\beta=b $$

である。

一方、第2の方程式

$$ x^2+3ax+2b=0 $$

の解が $\alpha^2,\beta^2$ であるから、再び解と係数の関係より

$$ \alpha^2+\beta^2=-3a,\qquad \alpha^2\beta^2=2b $$

を得る。

まず $\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=b^2$ なので、

$$ b^2=2b $$

より

$$ b(b-2)=0 $$

したがって

$$ b=0\quad \text{または}\quad b=2 $$

である。

ここで、第1の方程式は2つの虚数解をもつから、実数解はもたない。 $b=0$ なら

$$ x^2-ax=x(x-a)=0 $$

となり、解は $0,a$ で実数になってしまう。したがって

$$ b=2 $$

である。

次に、

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta $$

より

$$ \alpha^2+\beta^2=a^2-2b $$

である。これが $-3a$ に等しいので、

$$ a^2-2b=-3a $$

ここに $b=2$ を代入すると

$$ a^2-4=-3a $$

すなわち

$$ a^2+3a-4=0 $$

よって

$$ (a-1)(a+4)=0 $$

となるから、

$$ a=1\quad \text{または}\quad a=-4 $$

を得る。

最後に、第1の方程式が2つの虚数解をもつ条件を調べる。 判別式を $D$ とすると

$$ D=a^2-4b $$

であり、虚数解をもつためには

$$ D<0 $$

でなければならない。

**(i)**

$a=1,\ b=2$ のとき

$$ D=1-8=-7<0 $$

で適する。

**(ii)**

$a=-4,\ b=2$ のとき

$$ D=16-8=8>0 $$

で実数解をもつから不適である。

したがって求める値は

$$ a=1,\qquad b=2 $$

である。

解説

この問題の要点は、第1の方程式の解 $\alpha,\beta$ に対して、第2の方程式の解が $\alpha^2,\beta^2$ になっていることから、両方の方程式に解と係数の関係を適用することである。

特に積について

$$ \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2 $$

となるため、$b^2=2b$ という強い条件がすぐに出る。ここで候補を大きく絞れるのがこの問題の核心である。

その後に和

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta $$

を使えば $a$ が求まり、最後に「2つの虚数解」という条件で不要な候補を除けばよい。

答え

$$ a=1,\qquad b=2 $$