解説

方針・初手

解と係数の関係 $\alpha+\beta=-2a,\ \alpha\beta=a-1$ を用いるのが自然である。

（1） では判別式を調べればよい。

（2） では「両方とも $0$ 以上」と仮定すると，和と積の符号が矛盾することを示す。

（3） では $\alpha^2+\beta^2$ を $a$ で表し，さらに $\alpha\leqq0,\ \beta\leqq0$ となるための $a$ の条件を求めて最小化する。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2+2ax+(a-1)=0 $$

であり，その解を $\alpha,\beta$ とする。

解と係数の関係より，

$$ \alpha+\beta=-2a,\qquad \alpha\beta=a-1 $$

である。

**(1)**

$\alpha,\beta$ が異なる実数であることを示す。

判別式を $D$ とすると，

$$ \begin{aligned} D&=(2a)^2-4(a-1)\\ &=4a^2-4a+4\\ &=4(a^2-a+1)\\ &=4\left\{\left(a-\frac12\right)^2+\frac34\right\}>0 \end{aligned} $$

となる。

したがって，この2次方程式は常に異なる2つの実数解をもつ。ゆえに $\alpha,\beta$ は異なる実数である。

**(2)**

$\alpha,\beta$ のうち少なくとも1つは負であることを示す。

背理法で示す。$\alpha,\beta$ がともに $0$ 以上であると仮定する。

このとき，

$$ \alpha+\beta\geqq0,\qquad \alpha\beta\geqq0 $$

であるから，解と係数の関係より

$$ -2a\geqq0,\qquad a-1\geqq0 $$

すなわち

$$ a\leqq0,\qquad a\geqq1 $$

を得る。しかしこれは矛盾である。

したがって，$\alpha,\beta$ がともに $0$ 以上であることはない。ゆえに $\alpha,\beta$ のうち少なくとも1つは負である。

**(3)**

$\alpha\leqq0,\ \beta\leqq0$ のとき，$\alpha^2+\beta^2$ の最小値を求める。

まず，

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2 &=(-2a)^2-2(a-1)\\ &=4a^2-2a+2 \end{aligned} $$

となる。

次に，$\alpha,\beta$ は （1） より実数であり，さらに $\alpha\leqq0,\ \beta\leqq0$ であるから，

$$ \alpha+\beta\leqq0,\qquad \alpha\beta\geqq0 $$

である。よって

$$ -2a\leqq0,\qquad a-1\geqq0 $$

すなわち

$$ a\geqq0,\qquad a\geqq1 $$

より，

$$ a\geqq1 $$

である。

したがって，求める式は $a\geqq1$ の範囲で

$$ 4a^2-2a+2 $$

の最小値を求めればよい。この2次関数は上に開き，頂点は $a=\dfrac14$ にあるので，$a\geqq1$ では単調増加である。よって最小値は $a=1$ のときにとる。

$$ 4\cdot1^2-2\cdot1+2=4 $$

実際，$a=1$ のとき方程式は

$$ x^2+2x=0 $$

となり，解は $0,-2$ であるから条件 $\alpha\leqq0,\ \beta\leqq0$ を満たしている。

よって最小値は $4$ である。

解説

この問題の中心は，解そのものを直接求めるのではなく，解と係数の関係を使って処理する点にある。

（1） は判別式が常に正であることを示す標準問題である。

（2） は「2解がともに非負」と仮定すると，和からは $a\leqq0$，積からは $a\geqq1$ が出て矛盾する，という符号の議論が本質である。

（3） では $\alpha^2+\beta^2$ を $\alpha+\beta,\alpha\beta$ で表す変形 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ が典型である。さらに，$\alpha\leqq0,\beta\leqq0$ を $a$ の条件に直してから最小化する流れが重要である。

答え

**(1)**

判別式

$$ D=4\left\{\left(a-\frac12\right)^2+\frac34\right\}>0 $$

より，$\alpha,\beta$ は異なる実数である。

**(2)**

$\alpha,\beta$ がともに $0$ 以上とすると，

$\alpha+\beta\geqq0,\ \alpha\beta\geqq0$

より

$a\leqq0,\ a\geqq1$

となって矛盾する。したがって，$\alpha,\beta$ のうち少なくとも1つは負である。

**(3)**

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4a^2-2a+2 $$

であり，条件 $\alpha\leqq0,\ \beta\leqq0$ から $a\geqq1$ である。よって最小値は $a=1$ のときで，

$$ \min(\alpha^2+\beta^2)=4 $$

である。