解説

方針・初手

$\alpha,\beta$ は $x^2+x-1=0$ の解であるから、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-1,\qquad \alpha\beta=-1 $$

が成り立つ。

また、$\alpha,\beta$ はともに方程式 $t^2+t-1=0$ を満たすので、

$$ t^2=1-t $$

である。したがって、$s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと、

$$ t^{n+2}=t^n-t^{n+1} $$

より

$$ s_{n+2}=s_n-s_{n+1} $$

という漸化式が使える。これを用いて順に求める。

解法1

まず

$$ s_0=\alpha^0+\beta^0=2,\qquad s_1=\alpha+\beta=-1 $$

であるから、漸化式 $s_{n+2}=s_n-s_{n+1}$ により

$$ \begin{aligned} s_2&=s_0-s_1=2-(-1)=3,\\ s_3&=s_1-s_2=-1-3=-4,\\ s_4&=s_2-s_3=3-(-4)=7,\\ s_5&=s_3-s_4=-4-7=-11,\\ s_6&=s_4-s_5=7-(-11)=18,\\ s_7&=s_5-s_6=-11-18=-29,\\ s_8&=s_6-s_7=18-(-29)=47. \end{aligned} $$

さらに続けると、

$$ \begin{aligned} s_9&=-76,\quad s_{10}=123,\quad s_{11}=-199,\quad s_{12}=322,\\ s_{13}&=-521,\quad s_{14}=843,\quad s_{15}=-1364,\quad s_{16}=2207. \end{aligned} $$

以下、各問を処理する。

**(1)**

$$ \begin{aligned} (\alpha-1)(\beta-1) &=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1\\ &=-1-(-1)+1\\ &=1 \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \alpha^4+\beta^4=s_4=7 $$

**(3)**

$$ \alpha^{16}+\beta^{16}=s_{16}=2207 $$

**(4)**

$\alpha^2+\alpha-1=0$ より $\alpha^2+\alpha=1$、すなわち $\alpha(\alpha+1)=1$ であるから、

$$ \alpha+1=\frac{1}{\alpha} $$

同様に

$$ \beta+1=\frac{1}{\beta} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} (\alpha+1)^8+(\beta+1)^8 &=\alpha^{-8}+\beta^{-8}\\ &=\frac{\beta^8+\alpha^8}{(\alpha\beta)^8}\\ &=\alpha^8+\beta^8\\ &=s_8\\ &=47 \end{aligned} $$

**(5)**

$\alpha^2=1-\alpha$ より

$$ \alpha^3=\alpha(1-\alpha)=\alpha-\alpha^2=\alpha-(1-\alpha)=2\alpha-1 $$

したがって

$$ \alpha^3+1=2\alpha $$

同様に

$$ \beta^3+1=2\beta $$

であるから、

$$ \begin{aligned} (\alpha^3+1)^8+(\beta^3+1)^8 &=(2\alpha)^8+(2\beta)^8\\ &=2^8(\alpha^8+\beta^8)\\ &=256\cdot 47\\ &=12032 \end{aligned} $$

**(6)**

等比数列の和の公式より

$$ \sum_{k=1}^{17}\alpha^k=\frac{\alpha(\alpha^{17}-1)}{\alpha-1} $$

である。ここで $\alpha^2=1-\alpha$ より

$$ \alpha-1=-\alpha^2 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{17}\alpha^k &=\frac{\alpha(\alpha^{17}-1)}{-\alpha^2}\\ &=-\frac{\alpha^{17}-1}{\alpha}\\ &=-\alpha^{16}+\alpha^{-1} \end{aligned} $$

また $\alpha(\alpha+1)=1$ より $\alpha^{-1}=\alpha+1$ なので、

$$ \sum_{k=1}^{17}\alpha^k=-\alpha^{16}+\alpha+1 $$

同様に

$$ \sum_{k=1}^{17}\beta^k=-\beta^{16}+\beta+1 $$

したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{17}(\alpha^k+\beta^k) &=-(\alpha^{16}+\beta^{16})+(\alpha+\beta)+2\\ &=-2207+(-1)+2\\ &=-2206 \end{aligned} $$

解説

この問題の核は、$\alpha,\beta$ を直接求めることではなく、

$$ \alpha+\beta,\quad \alpha\beta,\quad \alpha^2=1-\alpha,\quad \beta^2=1-\beta $$

を利用して高次式を低い次数に落とすことである。

特に $s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと漸化式

$$ s_{n+2}=s_n-s_{n+1} $$

が成り立つので、高いべきの和も順に計算できる。また、

$$ \alpha+1=\frac1\alpha,\qquad \beta+1=\frac1\beta $$

や

$$ \alpha^3+1=2\alpha,\qquad \beta^3+1=2\beta $$

のような変形に気づくと、（4）、（5） はすぐに $s_8$ に帰着する。

答え

**(1)**

$1$

**(2)**

$7$

**(3)**

$2207$

**(4)**

$47$

**(5)**

$12032$

**(6)**

$-2206$