解説

方針・初手

2つの解を

$$ \alpha=\sin\theta+2\cos\theta,\qquad \beta=2\sin\theta+\cos\theta $$

とおく。すると，2次方程式の係数と解の関係から $\alpha+\beta,\alpha\beta$ が $k$ で表せる。

一方，$\alpha+\beta,\alpha\beta$ は $\sin\theta+\cos\theta,\sin\theta\cos\theta$ でも表せるので，まず （1） を処理し，その後 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いて $k$ を決める。

解法1

2次方程式

$$ 8x^2-12kx+3k^2+8=0 $$

の2解が $\alpha,\beta$ であるから，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=\frac{12k}{8}=\frac{3k}{2},\qquad \alpha\beta=\frac{3k^2+8}{8} $$

である。

ここで

$$ \alpha+\beta =(\sin\theta+2\cos\theta)+(2\sin\theta+\cos\theta) =3(\sin\theta+\cos\theta) $$

より，

$$ 3(\sin\theta+\cos\theta)=\frac{3k}{2} $$

したがって

$$ \sin\theta+\cos\theta=\frac{k}{2} $$

である。

次に，

$$ \alpha\beta =(\sin\theta+2\cos\theta)(2\sin\theta+\cos\theta) =2\sin^2\theta+5\sin\theta\cos\theta+2\cos^2\theta $$

であり，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いると

$$ \alpha\beta=2+5\sin\theta\cos\theta $$

となる。よって

$$ 2+5\sin\theta\cos\theta=\frac{3k^2+8}{8} $$

より

$$ 5\sin\theta\cos\theta=\frac{3k^2-8}{8} $$

したがって

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{3k^2-8}{40} $$

を得る。これで （1） は完了である。

次に，

$$ (\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta =1+2\sin\theta\cos\theta $$

であるから，上で求めた式を代入して

$$ \left(\frac{k}{2}\right)^2 =1+2\cdot \frac{3k^2-8}{40} $$

すなわち

$$ \frac{k^2}{4}=1+\frac{3k^2-8}{20} $$

となる。両辺を20倍すると

$$ 5k^2=20+3k^2-8=12+3k^2 $$

ゆえに

$$ 2k^2=12,\qquad k^2=6 $$

となる。$k$ は正の実数であるから

$$ k=\sqrt{6} $$

である。これで （2） が求まった。

最後に （3） を求める。

（1） の結果に $k=\sqrt{6}$ を代入すると

$$ \sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{2},\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{3\cdot 6-8}{40}=\frac{1}{4} $$

である。

よって $\sin\theta,\cos\theta$ は2次方程式

$$ t^2-\frac{\sqrt{6}}{2}t+\frac{1}{4}=0 $$

の2解である。判別式は

$$ \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-1 =\frac{6}{4}-1 =\frac{1}{2} $$

だから，

$$ t=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}\pm \sqrt{\frac12}}{2} =\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} =\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4} $$

となる。

ここで $0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{4}$ より

$$ \sin\theta\leqq \cos\theta $$

であるから，

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$

となる。

解説

この問題の中心は，解が三角比で与えられていても，まずは普通の2次方程式として **解と係数の関係** を使うことである。

$\sin\theta+2\cos\theta$ と $2\sin\theta+\cos\theta$ の和と積を計算すると，$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ に落ちる。そこから $(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$ を使えば $k$ が1本に定まる。

最後に $\sin\theta,\cos\theta$ を2解として復元し，区間条件 $0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{4}$ により大小関係 $\sin\theta\leqq \cos\theta$ を使って振り分ければよい。

答え

**(1)**

$$ \sin\theta+\cos\theta=\frac{k}{2},\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{3k^2-8}{40} $$

**(2)**

$$ k=\sqrt{6} $$

**(3)**

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$