解説

方針・初手

$OA=a$ メートル，棒の長さを $OX=h$ メートルとおく。

点 $A$ から見た仰角が $45^\circ$ であるから，まず $\tan 45^\circ$ を用いて $h=a$ が分かる。すると $OB=OA+AB=h+1$ となるので，次に点 $B$ から見た仰角 $44^\circ$ を使って $h$ を求めればよい。

解法1

水平面上で $OX$ は鉛直に立っているから，$\triangle AOX$，$\triangle BOX$ はともに直角三角形である。

点 $A$ から見た仰角が $45^\circ$ なので，

$$ \tan 45^\circ=\frac{OX}{OA} $$

より，

$$ 1=\frac{h}{a} $$

したがって，

$$ a=h $$

である。

また，$A$ は線分 $OB$ 上にあり，$AB=1$ だから，

$$ OB=OA+AB=h+1 $$

となる。

次に，点 $B$ から見た仰角が $44^\circ$ であるから，

$$ \tan 44^\circ=\frac{OX}{OB}=\frac{h}{h+1} $$

である。

ここで，

$$ 44^\circ=45^\circ-1^\circ $$

より，加法定理を用いて

$$ \tan 44^\circ =\tan(45^\circ-1^\circ) =\frac{\tan45^\circ-\tan1^\circ}{1+\tan45^\circ\tan1^\circ} =\frac{1-\tan1^\circ}{1+\tan1^\circ} $$

となる。したがって，

$$ \frac{h}{h+1}=\frac{1-\tan1^\circ}{1+\tan1^\circ} $$

である。これを解くと，

$$ h(1+\tan1^\circ)=(h+1)(1-\tan1^\circ) $$

$$ h+h\tan1^\circ=h+1-h\tan1^\circ-\tan1^\circ $$

$$ 2h\tan1^\circ=1-\tan1^\circ $$

よって，

$$ h=\frac{1-\tan1^\circ}{2\tan1^\circ} $$

を得る。

ここで条件

$$ 0.01745<\tan1^\circ<0.01746 $$

を用いる。関数

$$ \frac{1-t}{2t}=\frac{1}{2t}-\frac12 $$

は $t>0$ で単調減少するから，

$$ \frac{1-0.01746}{2\cdot0.01746} <h< \frac{1-0.01745}{2\cdot0.01745} $$

すなわち，

$$ 28.1368\cdots<h<28.1532\cdots $$

である。

したがって，棒の長さは約 $28.1$ メートルであり，小数点以下を四捨五入すると

$$ 28 $$

メートルとなる。

解説

$45^\circ$ が与えられているので，まず $\tan45^\circ=1$ を使って $OA=OX$ と見るのが核心である。すると $OB=OX+1$ と表せ，未知数が棒の長さ $h$ だけになる。

その後は $44^\circ=45^\circ-1^\circ$ と見て $\tan(45^\circ-1^\circ)$ を使う。問題文で $\tan1^\circ$ の評価が与えられているのは，この差角公式を使わせるためである。

答え

$28\text{ m}$