基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題2 解説
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解説
方針・初手
余角の関係 $ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta $ を用いて、分子と分母を同じ形に直すのが最も速い。
解法1
まず、$105^\circ$ は $75^\circ$ の補角であるから、
$$ \sin 105^\circ=\sin(180^\circ-75^\circ)=\sin 75^\circ $$
である。
したがって、分子は
$$ \sin 105^\circ+\cos 75^\circ=\sin 75^\circ+\cos 75^\circ $$
となる。
ここで余角の関係より、
$$ \sin 75^\circ=\cos 15^\circ,\qquad \cos 75^\circ=\sin 15^\circ $$
であるから、
$$ \sin 75^\circ+\cos 75^\circ=\cos 15^\circ+\sin 15^\circ $$
となる。
よって、もとの式は
$$ \begin{aligned} \frac{\sin 105^\circ+\cos 75^\circ}{\sin 15^\circ+\cos 15^\circ} &= \frac{\cos 15^\circ+\sin 15^\circ}{\sin 15^\circ+\cos 15^\circ} =1 \end{aligned} $$
である。
解説
この問題の要点は、角度 $75^\circ$ と $15^\circ$ が余角の関係にあることに気づくことである。
$\sin 75^\circ=\cos 15^\circ,\ \cos 75^\circ=\sin 15^\circ$ を使えば、分子と分母がそのまま一致する。三角比の値を個別に計算する必要はない。
答え
$$ 1 $$