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数学2 三角関数「三角関数」の問題3 解説

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数学2三角関数三角関数問題3

解説

$|\sin x|,|\cos x|\leqq 1$ であるから、$16$ 乗すると値はむしろ小さくなる。この性質を使って、与式を $\sin^2 x,\cos^2 x$ で上からおさえる。

求める関数を

$$ f(x)=2(\cos x)^{16}+19(\sin x)^{16} $$

とおく。

$0\leqq \cos^2 x\leqq 1,\ 0\leqq \sin^2 x\leqq 1$ より、

$$ (\cos x)^{16}=\bigl(\cos^2 x\bigr)^8\leqq \cos^2 x, \qquad (\sin x)^{16}=\bigl(\sin^2 x\bigr)^8\leqq \sin^2 x $$

が成り立つ。したがって、

$$ f(x)\leqq 2\cos^2 x+19\sin^2 x $$

である。

さらに $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ より、

$$ 2\cos^2 x+19\sin^2 x =2(1-\sin^2 x)+19\sin^2 x =2+17\sin^2 x \leqq 19 $$

となる。よって

$$ f(x)\leqq 19 $$

である。

実際、$\sin^2 x=1,\ \cos^2 x=0$、すなわち $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$ のとき

$$ f(x)=2\cdot 0+19\cdot 1=19 $$

となるから、この上限 $19$ は実現される。

したがって最大値は

$$ 19 $$

である。

この問題の要点は、$0\leqq t\leqq 1$ に対して $t^8\leqq t$ が成り立つことである。$\sin x,\cos x$ の偶数乗なので符号を気にせず $\sin^2 x,\cos^2 x$ に直して処理できる。

また、係数が $19$ の $\sin^{16}x$ の項が支配的なので、最大は $\sin^2 x=1$ のときに達すると見通すこともできる。

最大値は

$$ 19 $$

である。