基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題4 解説
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解説
方針・初手
$\sin^6 x+\cos^6 x$ は、$\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ をまとめて扱うと簡潔になる。
そこで
$$ a=\sin^2 x,\quad b=\cos^2 x $$
とおき、$a+b=1$ を用いて式を変形する。
解法1
$ a=\sin^2 x,\ b=\cos^2 x$ とすると、
$$ \sin^6 x+\cos^6 x=a^3+b^3 $$
である。
ここで、恒等式
$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $$
を用いると、
$$ a^3+b^3=(1)^3-3ab\cdot 1=1-3ab $$
となる。したがって、
$$ \sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x $$
である。
よって、この値を最小にするには $\sin^2 x\cos^2 x$ を最大にすればよい。
さらに、
$$ \sin^2 x\cos^2 x=\left(\sin x\cos x\right)^2 =\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 =\frac{1}{4}\sin^2 2x $$
より、
$$ \sin^2 x\cos^2 x\leqq \frac{1}{4} $$
である。したがって、
$$ \sin^6 x+\cos^6 x \geqq 1-3\cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{4} $$
となる。
等号は $\sin^2 2x=1$、すなわち $\sin^2 x=\cos^2 x=\dfrac12$ のとき成り立つ。よって最小値は
$$ A=\frac{1}{4} $$
である。
したがって、
$$ \frac{1}{A}=4 $$
となる。
解説
この問題の要点は、$\sin^6 x+\cos^6 x$ をそのまま扱わず、
$$ a=\sin^2 x,\quad b=\cos^2 x,\quad a+b=1 $$
という関係に落とし込むことである。
すると $a^3+b^3$ の形になり、$a+b=1$ を使って一次式と積 $ab$ に変形できる。あとは $\sin^2 x\cos^2 x$ の最大値が $\dfrac14$ であることを押さえればよい。$\sin x=\cos x$ となるときに最小値をとる、という典型的な構造である。
答え
$$ A=\frac{1}{4},\qquad \frac{1}{A}=4 $$