解説

方針・初手

まず

$$ x=4\theta-60^\circ $$

とおくと、与えられた方程式は

$$ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。 したがって、$\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる角を求め、その後 $x=4\theta-60^\circ$ に戻して $\theta$ の個数を数えればよい。

解法1

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、

$$ x=240^\circ+360^\circ k,\quad x=300^\circ+360^\circ k \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

のときである。

ここで $x=4\theta-60^\circ$ だから、

$$ 4\theta-60^\circ=240^\circ+360^\circ k $$

より

$$ 4\theta=300^\circ+360^\circ k $$

$$ \theta=75^\circ+90^\circ k $$

を得る。

また、

$$ 4\theta-60^\circ=300^\circ+360^\circ k $$

より

$$ 4\theta=360^\circ+360^\circ k $$

$$ \theta=90^\circ+90^\circ k $$

を得る。

あとは $0^\circ\leqq \theta\leqq 360^\circ$ を満たすものを数えればよい。

**(i)**

$\theta=75^\circ+90^\circ k$ のとき

$$ 75^\circ,\ 165^\circ,\ 255^\circ,\ 345^\circ $$

の $4$ 個。

**(ii)**

$\theta=90^\circ+90^\circ k$ のとき

$$ 0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ 270^\circ,\ 360^\circ $$

の $5$ 個。

したがって全部で

$$ 4+5=9 $$

個である。

解説

この問題は、三角方程式そのものよりも、$4\theta-60^\circ$ が動くことによって解の個数が増える点が重要である。

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の基本解を正確に書き、それを $\theta$ に戻してから範囲内の値を数えるのが最も確実である。 特に $0^\circ$ と $360^\circ$ がともに範囲に含まれるので、端点の扱いを落とさないことが大切である。

答え

$$ m=9 $$