解説

方針・初手

$\sin(5x)$ を $\sin x$ の多項式とすると、それを $P(\sin x)$ と書ける。

このとき、定数項以外の係数の和は、一般に多項式 $P(t)$ に対して $P(1)-P(0)$ で求まる。したがって、$\sin x=1$ および $\sin x=0$ となる $x$ を代入すればよい。

解法1

$\sin(5x)$ を $\sin x$ の多項式で

$$ \sin(5x)=P(\sin x) $$

とおく。

多項式

$$ P(t)=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0 $$

において、定数項以外の各係数の和は

$$ a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1=P(1)-P(0) $$

である。実際、

$$ P(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0,\qquad P(0)=a_0 $$

だからである。

そこで $P(\sin x)=\sin(5x)$ を用いる。

まず、$\sin x=1$ となる $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$ P(1)=\sin\left(5\cdot \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1 $$

である。

次に、$\sin x=0$ となる $x=0$ を代入すると、

$$ P(0)=\sin 0=0 $$

である。

よって、求める定数項以外の各係数の和は

$$ P(1)-P(0)=1-0=1 $$

となる。

解法2

5倍角の公式より、

$$ \sin(5x)=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x $$

である。

したがって、$\sin x$ の多項式として見たときの定数項以外の各係数は

$$ 16,\ -20,\ 5 $$

であるから、その和は

$$ 16-20+5=1 $$

となる。

解説

この問題は $\sin(5x)$ を実際に展開しても解けるが、聞かれているのは「係数の和」である。したがって、多項式 $P(t)$ に対して係数の和が $P(1)$、定数項以外の係数の和が $P(1)-P(0)$ になることを使うのが最も速い。

実際に $\sin x=1,\ 0$ となる値を代入できるので、展開計算をせずに答えが出る点がこの問題の要点である。

答え

定数項以外の各係数の和は

$$ 1 $$

である。