解説

方針・初手

$A+B=90^\circ$ であるから、$B=90^\circ-A$ とおける。これにより

$$ \sin A+\sin B=\sin A+\cos A $$

となるので、$\sin A+\cos A$ の最大・最小を考えればよい。

解法1

$B=90^\circ-A$ より、

$$ \sin A+\sin B=\sin A+\cos A $$

である。

さらに、

$$ \sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin(A+45^\circ) $$

と変形できる。

ここで、条件 $A\geqq0,\ B>0,\ A+B=90^\circ$ から

$$ 0\leqq A<90^\circ $$

である。したがって

$$ 45^\circ\leqq A+45^\circ<135^\circ $$

となる。

この区間で $\sin(A+45^\circ)$ は、$A+45^\circ=90^\circ$ のとき最大となるから、

$$ A+45^\circ=90^\circ $$

すなわち

$$ A=45^\circ,\quad B=45^\circ $$

のとき最大で、その値は

$$ \sqrt{2}\sin90^\circ=\sqrt{2} $$

である。

次に最小値を考える。$\sin(A+45^\circ)$ は区間 $[45^\circ,135^\circ)$ において、左端 $45^\circ$ のとき最も小さい。よって

$$ A+45^\circ=45^\circ $$

すなわち

$$ A=0^\circ,\quad B=90^\circ $$

のとき最小で、その値は

$$ \sin0^\circ+\sin90^\circ=0+1=1 $$

である。

解説

和が $90^\circ$ であるときは、$\sin B=\cos A$ に直して 1変数にするのが基本である。

その後、$\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin(A+45^\circ)$ と変形すれば、最大値・最小値は三角関数のグラフの性質だけで処理できる。なお、$B>0$ なので $A<90^\circ$ である点も条件整理として重要である。

答え

**(ア)**

$45^\circ$

**(イ)**

$45^\circ$

**(ウ)**

$\sqrt{2}$

**(エ)**

$0^\circ$

**(オ)**

$90^\circ$

**(カ)**

$1$