解説

方針・初手

$ \theta=\dfrac{2\pi}{5}$ とおくと、$5\theta=2\pi$ である。したがって、$ \sin 5\theta=0$ を用いれば、$\cos\theta$ についての方程式が作れる。これを解いて、$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ が第1象限にあることから正の値を選べばよい。

解法1

$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ とおく。

すると

$$ 5\theta=2\pi $$

より、

$$ \sin 5\theta=0 $$

である。

ここで恒等式

$$ \sin 5\theta=\sin\theta \left(16\cos^4\theta-12\cos^2\theta+1\right) $$

を用いる。

$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ では $0<\theta<\pi$ なので $\sin\theta\neq 0$ である。したがって

$$ 16\cos^4\theta-12\cos^2\theta+1=0 $$

となる。

$x=\cos^2\theta$ とおくと、

$$ 16x^2-12x+1=0 $$

であるから、

$$ x=\frac{12\pm\sqrt{144-64}}{32} =\frac{12\pm 4\sqrt{5}}{32} =\frac{3\pm\sqrt{5}}{8} $$

を得る。

したがって

$$ \cos^2\theta=\frac{3+\sqrt{5}}{8} \quad \text{または} \quad \cos^2\theta=\frac{3-\sqrt{5}}{8} $$

である。

ここで

$$ \theta=\frac{2\pi}{5}=72^\circ $$

は第1象限にあるので、$\cos\theta>0$ である。また $72^\circ$ は $45^\circ$ より大きいから

$$ 0<\cos\theta<\frac{1}{\sqrt2} $$

である。したがって $\cos^2\theta<\dfrac12$ となる小さい方を選び、

$$ \cos^2\theta=\frac{3-\sqrt{5}}{8} $$

である。

さらに

$$ \left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2 =\frac{6-2\sqrt5}{16} =\frac{3-\sqrt5}{8} $$

であり、$\cos\theta>0$ だから

$$ \cos\frac{2\pi}{5}=\cos\theta=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

を得る。

解法2

$z=\cos\dfrac{2\pi}{5}$ とおく。

5乗根の性質より、

$$ 1+e^{\frac{2\pi i}{5}}+e^{\frac{4\pi i}{5}}+e^{\frac{6\pi i}{5}}+e^{\frac{8\pi i}{5}}=0 $$

である。この実部をとると、

$$ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0 $$

となる。

ここで

$$ \cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{5}\right)=2z^2-1 $$

なので、

$$ 1+2z+2(2z^2-1)=0 $$

すなわち

$$ 4z^2+2z-1=0 $$

を得る。

これを解くと

$$ z=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8} =\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8} =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} $$

である。

$\dfrac{2\pi}{5}$ は第1象限の角だから $\cos\dfrac{2\pi}{5}>0$ である。よって正の解を採用して

$$ z=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

となる。

すなわち

$$ \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\dfrac{2\pi}{5}$ が 5 に関係する角であることを見て、5倍角の公式や5乗根の関係式につなげることである。

特に三角関数の範囲では、$\sin5\theta=0$ を利用する方法が自然である。ただし、方程式を解いた後にどの値を採用するかは、$\dfrac{2\pi}{5}$ が第1象限の角であることから符号や大きさを確認する必要がある。

また、最終結果としては

$$ \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

であり、正五角形に現れる黄金比と深く関係する値でもある。

答え

$$ \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$