解説

方針・初手

まず根号内を $2$ 倍角公式で整理する。

$$ 1+\cos 2x=2\cos^2 x,\qquad 1-\cos 2x=2\sin^2 x $$

したがって右辺は

$$ \left|\sqrt{1+\cos 2x}-\sqrt{1-\cos 2x}\right| =\left|\sqrt{2}|\cos x|-\sqrt{2}|\sin x|\right| =\sqrt{2}\,\bigl||\cos x|-|\sin x|\bigr| $$

となる。よって与えられた不等式は

$$ 2\sin x\le \sqrt{2}\,\bigl||\cos x|-|\sin x|\bigr| $$

である。あとは区間ごとに絶対値を外して解けばよい。

解法1

与えられた不等式を

$$ 2\sin x\le \sqrt{2}\,\bigl||\cos x|-|\sin x|\bigr| \qquad (0\le x\le 2\pi) $$

と書く。

**(i)**

$\pi\le x\le 2\pi$ のとき

この範囲では $\sin x\le 0$ である。一方，右辺は絶対値を含むので常に $0$ 以上である。よって

$$ 2\sin x\le 0\le \sqrt{2}\,\bigl||\cos x|-|\sin x|\bigr| $$

となり，この範囲の $x$ はすべて不等式を満たす。

したがって

$$ \pi\le x\le 2\pi $$

はすべて解である。

**(ii)**

$0\le x\le \pi$ のとき

この範囲では $\sin x\ge 0$ だから $|\sin x|=\sin x$ である。

さらに，まず $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ を考える。このとき $\cos x\ge 0$ でもあるから $|\cos x|=\cos x$ となり，不等式は

$$ 2\sin x\le \sqrt{2}\,|\cos x-\sin x| $$

となる。

ここで $x=\dfrac{\pi}{4}$ を境に場合分けする。

**(a)**

$0\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ のとき

このとき $\cos x\ge \sin x$ だから

$$ |\cos x-\sin x|=\cos x-\sin x $$

である。したがって

$$ 2\sin x\le \sqrt{2}(\cos x-\sin x) $$

より

$$ (2+\sqrt{2})\sin x\le \sqrt{2}\cos x $$

を得る。$\cos x>0$ なので両辺を $\cos x$ で割ると

$$ \tan x\le \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} =\sqrt{2}-1 $$

となる。ここで

$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$

であり，$\tan x$ は $0\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ で単調増加だから，

$$ 0\le x\le \frac{\pi}{8} $$

となる。

**(b)**

$\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ のとき

このとき $\sin x\ge \cos x$ だから

$$ |\cos x-\sin x|=\sin x-\cos x $$

である。したがって

$$ 2\sin x\le \sqrt{2}(\sin x-\cos x) $$

より

$$ (2-\sqrt{2})\sin x\le -\sqrt{2}\cos x $$

となる。しかしこの範囲では $\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0$ であるから，左辺は $0$ 以上，右辺は $0$ 以下である。したがって成り立つのは両辺がともに $0$ のときしかないが，そのような $x$ は存在しない。よってこの範囲には解はない。

以上より

$$ 0\le x\le \frac{\pi}{2} $$

では

$$ 0\le x\le \frac{\pi}{8} $$

のみが解である。

次に $\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ を考える。ここで $y=\pi-x$ とおくと $0\le y\le \dfrac{\pi}{2}$ であり，

$$ \sin x=\sin y,\qquad |\cos x|=|-\cos y|=\cos y $$

となる。したがって不等式は $y$ について

$$ 2\sin y\le \sqrt{2}\,|\cos y-\sin y| $$

となり，先ほどと同じ形になる。よって

$$ 0\le y\le \frac{\pi}{8} $$

であるから

$$ 0\le \pi-x\le \frac{\pi}{8} $$

すなわち

$$ \frac{7\pi}{8}\le x\le \pi $$

となる。

（i） と （ii） を合わせると，求める範囲は

$$ 0\le x\le \frac{\pi}{8},\qquad \frac{7\pi}{8}\le x\le 2\pi $$

である。

解説

この問題の要点は，右辺の根号を

$$ \sqrt{1+\cos 2x}=\sqrt{2}|\cos x|,\qquad \sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt{2}|\sin x| $$

と直すことである。ここで絶対値が残るため，区間ごとに $|\cos x|,\ |\sin x|,\ |\cos x-\sin x|$ の符号を丁寧に判定する必要がある。

また，$\pi\le x\le 2\pi$ では左辺が非正，右辺が非負なので一気に全解になる。この観察を先に行うと計算量をかなり減らせる。

答え

$$ x\in \left[0,\frac{\pi}{8}\right]\cup \left[\frac{7\pi}{8},2\pi\right] $$