解説

方針・初手

与式を $\cos x,\sin x$ の一次式に直す。 すべての実数 $x$ に対して一定になるためには、$\cos x$ と $\sin x$ の係数がともに $0$ でなければならない。

解法1

$$ f(x)=\cos(x+\alpha)+\sin(x+\beta)+\sqrt2\cos x $$

とおく。

加法定理より、

$$ \begin{aligned} f(x) &=(\cos x\cos\alpha-\sin x\sin\alpha)+(\sin x\cos\beta+\cos x\sin\beta)+\sqrt2\cos x \\ &=(\cos\alpha+\sin\beta+\sqrt2)\cos x+(-\sin\alpha+\cos\beta)\sin x \end{aligned} $$

となる。

これがすべての実数 $x$ に対して一定であるための必要十分条件は、

$$ \begin{cases} \cos\alpha+\sin\beta+\sqrt2=0,\\ -\sin\alpha+\cos\beta=0 \end{cases} $$

すなわち

$$ \begin{cases} \cos\alpha+\sin\beta=-\sqrt2,\\ \cos\beta=\sin\alpha \end{cases} $$

である。

ここで、上の2式の左辺をそれぞれ $A,B$ とすると、

$$ A^2+B^2=(\cos\alpha+\sin\beta)^2+(-\sin\alpha+\cos\beta)^2 $$

であり、これを展開すると

$$ \begin{aligned} A^2+B^2 &=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\cos^2\beta+2(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta) \\ &=2+2\sin(\beta-\alpha) \end{aligned} $$

となる。

一方、条件より $A=-\sqrt2,\ B=0$ なので

$$ A^2+B^2=2 $$

である。したがって

$$ 2+2\sin(\beta-\alpha)=2 $$

より

$$ \sin(\beta-\alpha)=0 $$

すなわち

$$ \beta-\alpha=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$\beta=\alpha$ の場合

このとき $\cos\beta=\sin\alpha$ より

$$ \cos\alpha=\sin\alpha $$

となるから、

$$ \alpha=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} $$

である。

さらに $\cos\alpha+\sin\beta=-\sqrt2$ は $\beta=\alpha$ より

$$ \cos\alpha+\sin\alpha=-\sqrt2 $$

となるので、成り立つのは

$$ \alpha=\frac{5\pi}{4} $$

のみである。よって

$$ (\alpha,\beta)=\left(\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right) $$

である。

**(ii)**

$\beta=\alpha+\pi$ の場合

このとき $\cos\beta=\sin\alpha$ より

$$ \cos(\alpha+\pi)=\sin\alpha $$

すなわち

$$ -\cos\alpha=\sin\alpha $$

となるから、

$$ \alpha=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} $$

である。

さらに $\cos\alpha+\sin\beta=-\sqrt2$ は $\beta=\alpha+\pi$ より

$$ \cos\alpha+\sin(\alpha+\pi)=\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2 $$

となるので、成り立つのは

$$ \alpha=\frac{3\pi}{4} $$

のみである。したがって

$$ \beta=\frac{7\pi}{4} $$

であり、

$$ (\alpha,\beta)=\left(\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right) $$

を得る。

以上より求める組は2組である。

解説

この問題の本質は、「すべての実数 $x$ に対して一定」という条件を、$\cos x,\sin x$ の係数比較に落とすことである。

加法定理で整理すれば、与式は $A\cos x+B\sin x$ の形になる。これは $A=B=0$ のときに限って一定になるので、あとは三角方程式を解けばよい。

途中で

$$ (\cos\alpha+\sin\beta)^2+(-\sin\alpha+\cos\beta)^2 $$

をまとめて計算すると、$\beta-\alpha$ の条件が一気に出て、場合分けが簡潔になる。この処理がこの問題の要点である。

答え

$$ (\alpha,\beta)=\left(\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right) $$

である。なお、このとき与式の一定値はどちらの場合も $0$ である。