解説

方針・初手

時刻を $t$ とおいて、点 $P,Q$ の座標を媒介変数表示するのが最も自然である。

点 $P$ は半径 $1$ の円を角速度 $2$ で動き、点 $Q$ は半径 $2$ の円を角速度 $1$ で動くので、両者の座標を $t$ で表せば、距離 $PQ$ の二乗が $t$ の関数として求まる。距離そのものよりも、まず $PQ^2$ を整理すると計算が簡潔になる。

解法1

時刻 $t$ における点 $P,Q$ の座標は

$$ P=(\cos 2t,\ \sin 2t),\qquad Q=(4+2\cos t,\ 2\sin t) $$

である。

したがって

$$ PQ^2=(4+2\cos t-\cos 2t)^2+(2\sin t-\sin 2t)^2 $$

となる。

ここで

$$ \cos 2t=2\cos^2 t-1,\qquad \sin 2t=2\sin t\cos t $$

を用いる。$c=\cos t,\ s=\sin t$ とおくと、

$$ PQ^2=(4+2c-(2c^2-1))^2+(2s-2sc)^2 $$

すなわち

$$ PQ^2=(5+2c-2c^2)^2+4s^2(1-c)^2 $$

である。さらに $s^2=1-c^2$ より、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=(5+2c-2c^2)^2+4(1-c^2)(1-c)^2 \\ &=-16c^2+12c+29 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ PQ^2=-16\left(c-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{125}{4} $$

であるから、$-1\le c\le 1$ において最大値は

$$ PQ^2=\frac{125}{4} $$

であり、

$$ PQ=\frac{5\sqrt{5}}{2} $$

となる。このとき

$$ \cos t=\frac{3}{8} $$

である。

また、上の式は下に凸ではなく上に凸な二次式であるから、最小値は端点で生じる。端点を調べると

$$ PQ^2\big|*{c=1}=25,\qquad PQ^2\big|*{c=-1}=1 $$

より、最小値は

$$ PQ=1 $$

であり、このとき

$$ \cos t=-1 $$

である。

最大値を与える点の座標

$\cos t=\dfrac{3}{8}$ のとき、

$$ \sin t=\pm\sqrt{1-\left(\frac{3}{8}\right)^2} =\pm\frac{\sqrt{55}}{8} $$

である。

したがって

$$ Q=(4+2\cos t,\ 2\sin t) =\left(\frac{19}{4},\ \pm\frac{\sqrt{55}}{4}\right) $$

であり、また

$$ P=(\cos 2t,\ \sin 2t) =(2\cos^2 t-1,\ 2\sin t\cos t) $$

より

$$ P=\left(2\cdot\frac{9}{64}-1,\ 2\cdot\frac{3}{8}\cdot\pm\frac{\sqrt{55}}{8}\right) =\left(-\frac{23}{32},\ \pm\frac{3\sqrt{55}}{32}\right) $$

となる。

最小値を与える点の座標

$\cos t=-1$ であるから $t=\pi$ とみなせば、

$$ P=(\cos 2\pi,\ \sin 2\pi)=(1,0), \qquad Q=(4+2\cos\pi,\ 2\sin\pi)=(2,0) $$

である。

解説

この問題の要点は、2点がそれぞれ別の円周上を異なる角速度で動いていても、同じ時刻 $t$ を用いて座標表示すれば距離の問題に落とせる点にある。

また、距離をそのまま扱うより $PQ^2$ を扱うのが定石である。実際、本問では三角関数の2倍角公式を使うことで $PQ^2$ が $\cos t$ の二次式にまで落ち、最大・最小が一気に読める。

最大値のときは $\cos t=\dfrac38$ となるので、$\sin t$ の符号が $\pm$ の2通りあり、したがって座標も上下対称な2組存在する。一方、最小値のときは $t=\pi$ で位置が一意に定まる。

答え

最大値は

$$ \frac{5\sqrt{5}}{2} $$

であり、そのとき

$$ P=\left(-\frac{23}{32},\ \frac{3\sqrt{55}}{32}\right),\quad Q=\left(\frac{19}{4},\ \frac{\sqrt{55}}{4}\right) $$

または

$$ P=\left(-\frac{23}{32},\ -\frac{3\sqrt{55}}{32}\right),\quad Q=\left(\frac{19}{4},\ -\frac{\sqrt{55}}{4}\right) $$

である。

最小値は

$$ 1 $$

であり、そのとき

$$ P=(1,0),\quad Q=(2,0) $$

である。