解説

方針・初手

まず

$$ \cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)(\cos^2 x+\sin^2 x+\sin x\cos x) $$

と因数分解し、$\cos^2 x+\sin^2 x=1$ を用いて式を整理する。

その後、$t=\cos x-\sin x$ とおくと $\sin x\cos x$ を $t$ で表せるので、1変数の式に直して評価する。

解法1

与えられた左辺を

$$ E=\cos^3 x-\sin^3 x+\cos x-\sin x+\sin x\cos x $$

とおく。

まず、差の立方の公式より

$$ \cos^3 x-\sin^3 x =(\cos x-\sin x)(\cos^2 x+\cos x\sin x+\sin^2 x) $$

である。ここで $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ だから、

$$ \cos^3 x-\sin^3 x =(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x) $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} E &=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)+(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x \\ &=(\cos x-\sin x)(2+\sin x\cos x)+\sin x\cos x \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ t=\cos x-\sin x $$

とおく。すると

$$ t^2=(\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x $$

より

$$ \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2} $$

である。これを $E$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} E &=t\left(2+\frac{1-t^2}{2}\right)+\frac{1-t^2}{2} \\ &=\frac{-t^3-t^2+5t+1}{2} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} E-2 &=\frac{-t^3-t^2+5t-3}{2} \\ &=-\frac{t^3+t^2-5t+3}{2} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ t^3+t^2-5t+3=(t-1)(t^2+2t-3)=(t-1)^2(t+3) $$

と因数分解できるから、

$$ E-2=-\frac{(t-1)^2(t+3)}{2} $$

を得る。

一方、

$$ t=\cos x-\sin x $$

であるから

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

が成り立つ。よって特に $t+3>0$ である。また $(t-1)^2\ge 0$ であるから、

$$ -\frac{(t-1)^2(t+3)}{2}\le 0 $$

すなわち

$$ E\le 2 $$

となる。よって

$$ \cos^3 x-\sin^3 x+\cos x-\sin x+\sin x\cos x\le 2 $$

が任意の $x$ に対して成り立つ。

解説

この問題の要点は、$\cos^3 x-\sin^3 x$ をそのまま扱わず、$\cos x-\sin x$ を共通因子としてまとめることである。

その後、$t=\cos x-\sin x$ とおくと

$$ (\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x $$

から $\sin x\cos x$ も $t$ で表せる。これにより三角関数の不等式が1変数の代数的不等式に落ちる。

最後に $(t-1)^2(t+3)$ の形まで因数分解できれば、符号判定だけで終了する。この変形に気づけるかが本問の中心である。

答え

$$ \cos^3 x-\sin^3 x+\cos x-\sin x+\sin x\cos x\le 2 $$

が任意の $x$ に対して成り立つ。

なお、等号成立は

$$ \cos x-\sin x=1 $$

のときである。