解説

方針・初手

$(1)$ は $\sin A=\sin B$ の一般解を使えば直接求まる。

$(2)$ は $\sin3\theta,\sin2\theta$ を $\sin\theta,\cos\theta$ で表し、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\theta>0$ を用いて $\cos\theta$ の条件に直す。すると $m,n$ が整数であることから候補が強く絞られる。

解法1

**(1)**

$$ \sin3\theta=\sin2\theta $$

より、$\sin A=\sin B$ の一般解

$$ A=B+2k\pi \quad \text{または} \quad A=\pi-B+2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

を用いると、

$$ 3\theta=2\theta+2k\pi $$

または

$$ 3\theta=\pi-2\theta+2k\pi $$

である。

前者からは

$$ \theta=2k\pi $$

となるが、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ に反するので不適である。

後者からは

$$ 5\theta=\pi+2k\pi $$

となる。ここで $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ 0<5\theta<\frac{5\pi}{2} $$

であるから、これを満たすのは $k=0$ のときだけである。したがって

$$ \theta=\frac{\pi}{5} $$

である。

**(2)**

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ なので

$$ 0<c<1,\qquad s>0 $$

である。

与式

$$ \sin3\theta=m\sin2\theta+n\sin\theta $$

に対して、

$$ \sin3\theta=s(4c^2-1),\qquad \sin2\theta=2sc $$

を用いると

$$ s(4c^2-1)=2msc+ns $$

となる。ここで $s>0$ だから両辺を $s$ で割れて、

$$ 4c^2-1=2mc+n $$

すなわち

$$ 4c^2-2mc-(n+1)=0 $$

を得る。これを変形すると

$$ n+1=2c(2c-m) $$

である。

左辺は正の整数である。右辺が正であるためには

$$ 2c-m>0 $$

でなければならない。ところが $0<c<1$ だから

$$ 0<2c<2 $$

である。よって

$$ m<2 $$

となり、$m$ は $0$ 以上の整数だから

$$ m=0,\ 1 $$

に限られる。

（i） $m=0$ の場合

$$ n+1=4c^2 $$

である。$0<c<1$ より

$$ 0<4c^2<4 $$

だから、正の整数 $n+1$ として可能なのは

$$ n+1=1,2,3 $$

のみである。

• $n+1=1$、すなわち $n=0$ のとき

$$ 4c^2=1 $$

より

$$ c=\frac12,\qquad \theta=\frac{\pi}{3} $$

• $n+1=2$、すなわち $n=1$ のとき

$$ 4c^2=2 $$

より

$$ c=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \theta=\frac{\pi}{4} $$

• $n+1=3$、すなわち $n=2$ のとき

$$ 4c^2=3 $$

より

$$ c=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \theta=\frac{\pi}{6} $$

したがって、この場合は

$$ (m,n)=(0,0),(0,1),(0,2) $$

であり、それぞれ

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{6} $$

を得る。

（ii） $m=1$ の場合

$$ n+1=2c(2c-1) $$

である。右辺が正であるから $c>\dfrac12$ であり、したがって

$$ \frac12<c<1 $$

である。このとき

$$ 0<2c(2c-1)<2 $$

だから、正の整数 $n+1$ は

$$ n+1=1 $$

しかありえない。よって

$$ n=0 $$

である。

すると元の方程式は

$$ \sin3\theta=\sin2\theta $$

となるので、（1） より

$$ \theta=\frac{\pi}{5} $$

である。

したがって、この場合は

$$ (m,n)=(1,0) $$

である。

以上より、解をもつ $(m,n)$ は

$$ (0,0),\ (0,1),\ (0,2),\ (1,0) $$

に限られる。

解説

$(1)$ は $\sin A=\sin B$ の標準処理である。

$(2)$ の要点は、三倍角・二倍角を使って

$$ n+1=2\cos\theta(2\cos\theta-m) $$

まで落とすことである。ここで $0<\cos\theta<1$ なので $m$ はすぐに $0,1$ に限られ、さらに右辺の値域から $n$ も有限個に絞られる。整数条件を早い段階で使うのが決め手である。

答え

**(1)**

$$ \theta=\frac{\pi}{5} $$

**(2)**

解をもつのは

$$ (m,n)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0) $$

に限る。そのときの $\theta$ はそれぞれ

$$ \begin{aligned} (m,n)=(0,0) &\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3},\\ (m,n)=(0,1) &\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4},\\ (m,n)=(0,2) &\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6},\\ (m,n)=(1,0) &\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{5}. \end{aligned} $$