基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題15 解説
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解説
方針・初手
$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos a}$ では、$a$ は定数なので、$x$ に関して変化するのは $\sin x$ のみである。
したがって、
- 方程式 $f(x)=2$ が解をもつ条件は、$\sin x$ が取りうる値の範囲から調べればよい。
- 最大値 $M(a)$ は、$\sin x$ の最大値 $1$ を用いればすぐに表せる。
解法1
まず、$0\leqq a<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos a>0$ である。
したがって、
$$ f(x)=\frac{\sin x}{\cos a} $$
は $\sin x$ を正の定数 $\cos a$ で割った形である。
（1） 方程式 $f(x)=2$ が解をもつ条件
方程式 $f(x)=2$ は
$$ \frac{\sin x}{\cos a}=2 $$
より
$$ \sin x=2\cos a $$
と同値である。
ここで、$\sin x$ は実数全体で
$$ -1\leqq \sin x\leqq 1 $$
を満たすから、この方程式が解をもつための必要十分条件は
$$ -1\leqq 2\cos a\leqq 1 $$
である。
ただし、$0\leqq a<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos a>0$ なので、$2\cos a\geqq 0$ であり、結局必要なのは
$$ 2\cos a\leqq 1 $$
すなわち
$$ \cos a\leqq \frac{1}{2} $$
である。
いま $0\leqq a<\dfrac{\pi}{2}$ において $\cos a$ は単調減少するから、
$$ \cos a\leqq \frac{1}{2} \iff a\geqq \frac{\pi}{3} $$
である。
もともとの条件 $a<\dfrac{\pi}{2}$ を合わせると、
$$ \frac{\pi}{3}\leqq a<\frac{\pi}{2} $$
となる。
（2） $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\leqq M(a)\leqq 2$ となる条件
$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos a}$ であり、$\sin x$ の最大値は $1$ であるから、
$$ M(a)=\frac{1}{\cos a} $$
である。
よって条件
$$ \frac{2}{\sqrt{3}}\leqq M(a)\leqq 2 $$
は
$$ \frac{2}{\sqrt{3}}\leqq \frac{1}{\cos a}\leqq 2 $$
となる。
$\cos a>0$ なので逆数をとると不等号の向きに注意して
$$ \frac{1}{2}\leqq \cos a\leqq \frac{\sqrt{3}}{2} $$
である。
$0\leqq a<\dfrac{\pi}{2}$ において $\cos a$ は単調減少するから、
$$ \cos a\leqq \frac{\sqrt{3}}{2} \iff a\geqq \frac{\pi}{6} $$
かつ
$$ \cos a\geqq \frac{1}{2} \iff a\leqq \frac{\pi}{3} $$
である。
したがって、
$$ \frac{\pi}{6}\leqq a\leqq \frac{\pi}{3} $$
となる。
解説
この問題の要点は、$\sin x$ の値域が $[-1,1]$ であることと、$0\leqq a<\dfrac{\pi}{2}$ において $\cos a>0$ かつ単調減少であることの2点である。
方程式の存在条件は「右辺が $\sin x$ の値域に入るか」で判断する。最大値は $\sin x$ の最大値 $1$ をそのまま使えばよく、複雑な計算は不要である。
答え
**(ア)**
$$ \frac{\pi}{3}\leqq a<\frac{\pi}{2} $$
**(イ)**
$$ \frac{\pi}{6}\leqq a\leqq \frac{\pi}{3} $$