解説

方針・初手

まず

$$ a=\cos\theta+\sin\theta $$

とおくと、与えられた直線は $a$ を用いて簡単に書き直せる。さらに

$$ (\cos\theta+\sin\theta)^2=1+\sin2\theta $$

を使えば、$\sin2\theta$ も $a$ で表せる。

そのうえで、直線族

$$ y=2ax-a^2 \qquad \left(0\le a\le \sqrt2\right) $$

が通る点全体を調べればよい。固定した $x$ に対し、右辺を $a$ の関数として最大値・最小値を求めるのが初手である。

解法1

**(1)**

$$ a=\cos\theta+\sin\theta =\sqrt2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで

$$ 0\le \theta\le \frac{3\pi}{4} $$

より

$$ -\frac{\pi}{4}\le \theta-\frac{\pi}{4}\le \frac{\pi}{2} $$

である。この区間において $\cos t$ の最大値は $1$、最小値は $0$ であるから、

$$ 0\le a\le \sqrt2 $$

となる。

**(2)**

まず

$$ a=\cos\theta+\sin\theta $$

とおくと、

$$ a^2 =(\cos\theta+\sin\theta)^2 =\cos^2\theta+\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta =1+\sin2\theta $$

より

$$ \sin2\theta=a^2-1 $$

である。したがって直線 $\ell_\theta$ は

$$ y=2ax-1-\sin2\theta =2ax-1-(a^2-1) =2ax-a^2 $$

となる。

しかも （1） より

$$ 0\le a\le \sqrt2 $$

であるから、$D$ は

$$ y=2ax-a^2 \qquad (0\le a\le \sqrt2) $$

をみたす点全体である。

そこで、$x$ を固定して

$$ f(a)=2ax-a^2 $$

を考える。

これは

$$ f(a)=-(a-x)^2+x^2 $$

と変形できるので、$a$ について下に凸ではなく上に凸の二次関数である。よって最大値は頂点または端点でとり、最小値は端点でとる。

まず最大値を求める。

**(i)**

$x\le 0$ のとき

区間 $0\le a\le \sqrt2$ に対して、頂点 $a=x$ は区間の左外にある。したがって最大値は $a=0$ でとり、

$$ \max f(a)=f(0)=0 $$

である。

**(ii)**

$0\le x\le \sqrt2$ のとき

頂点 $a=x$ が区間内にあるので、

$$ \max f(a)=f(x)=x^2 $$

である。

**(iii)**

$x\ge \sqrt2$ のとき

頂点 $a=x$ は区間の右外にある。したがって最大値は $a=\sqrt2$ でとり、

$$ \max f(a)=f(\sqrt2)=2\sqrt2,x-2 $$

である。

次に最小値を求める。最小値は端点 $a=0,\sqrt2$ のいずれかでとるから、

$$ f(0)=0,\qquad f(\sqrt2)=2\sqrt2,x-2 $$

を比較すればよい。

$$ 2\sqrt2,x-2\le 0 \iff x\le \frac{1}{\sqrt2} $$

より、

**(iv)**

$x\le \dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき

$$ \min f(a)=2\sqrt2,x-2 $$

**(v)**

$x\ge \dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき

$$ \min f(a)=0 $$

となる。

以上より、$D$ は次の領域である。

$$ D= \left\{ (x,y),\middle|, \begin{aligned} &2\sqrt2,x-2\le y\le 0 &&(x\le 0),\\ &2\sqrt2,x-2\le y\le x^2 &&\left(0\le x\le \frac{1}{\sqrt2}\right),\\ &0\le y\le x^2 &&\left(\frac{1}{\sqrt2}\le x\le \sqrt2\right),\\ &0\le y\le 2\sqrt2,x-2 &&(x\ge \sqrt2) \end{aligned} \right\}. $$

したがって境界は

$$ y=x^2 \qquad (0\le x\le \sqrt2), $$

$$ y=2\sqrt2,x-2 \qquad \left(x\le \frac{1}{\sqrt2}\ \text{および}\ x\ge \sqrt2\right), $$

$$ y=0 \qquad \left(x\le 0\ \text{および}\ x\ge \frac{1}{\sqrt2}\right) $$

からなる。

主な交点は

$$ (0,0),\qquad \left(\frac{1}{\sqrt2},0\right),\qquad (\sqrt2,2) $$

である。これらをもとに図示すればよい。

解説

この問題の要点は、$\cos\theta+\sin\theta$ を新しい文字 $a$ で置き換え、さらに $\sin2\theta=a^2-1$ と結びつけることで、直線族を

$$ y=2ax-a^2 $$

という一変数の形に落とすことである。

その後は、固定した $x$ に対して $a$ を動かしたときの値域を調べれば、各 $x$ に対する縦の切り口が分かる。図形の問題に見えるが、実際には二次関数の最大・最小の問題に帰着している。

答え

**(1)**

$$ 0\le a\le \sqrt2 $$

**(2)**

$$ D= \left\{ (x,y),\middle|, \begin{aligned} &2\sqrt2,x-2\le y\le 0 &&(x\le 0),\\ &2\sqrt2,x-2\le y\le x^2 &&\left(0\le x\le \frac{1}{\sqrt2}\right),\\ &0\le y\le x^2 &&\left(\frac{1}{\sqrt2}\le x\le \sqrt2\right),\\ &0\le y\le 2\sqrt2,x-2 &&(x\ge \sqrt2) \end{aligned} \right\}. $$

境界は

$$ y=x^2 \quad (0\le x\le \sqrt2),\qquad y=2\sqrt2,x-2,\qquad y=0 $$

の該当部分である。