解説

方針・初手

（1） は $\sin(2\theta+\theta)$ を加法定理で展開し、$\sin\theta$ だけの式に整理すればよい。

（2） は $\theta=18^\circ$ のとき $2\theta=36^\circ,\ 3\theta=54^\circ$ となることに注目し、余角の関係を使う。

（3） は （1） の三倍角公式に $\theta=18^\circ$ を代入し、さらに （2） の関係を用いて $\sin18^\circ$ についての方程式を作って解く。

解法1

**(1)**

加法定理より、

$$ \sin3\theta=\sin(2\theta+\theta)=\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta $$

である。

ここで、

$$ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\qquad \cos2\theta=1-2\sin^2\theta $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \sin3\theta &=(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta \\ &=2\sin\theta\cos^2\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta \end{aligned} $$

さらに $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ より、

$$ \begin{aligned} \sin3\theta &=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta \\ &=2\sin\theta-2\sin^3\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta \\ &=3\sin\theta-4\sin^3\theta \end{aligned} $$

したがって、

$$ \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta $$

が成り立つ。

**(2)**

$\theta=18^\circ$ のとき、

$$ 2\theta=36^\circ,\qquad 3\theta=54^\circ $$

である。

一方、$\sin(90^\circ-x)=\cos x$ であるから、

$$ \sin54^\circ=\sin(90^\circ-36^\circ)=\cos36^\circ $$

となる。よって、

$$ \cos2\theta=\cos36^\circ=\sin54^\circ=\sin3\theta $$

であり、

$$ \cos2\theta=\sin3\theta $$

が成り立つ。

**(3)**

$x=\sin18^\circ$ とおく。

（2） より

$$ \cos36^\circ=\sin54^\circ $$

であり、（1） の公式に $\theta=18^\circ$ を代入すると

$$ \sin54^\circ=3\sin18^\circ-4\sin^318^\circ=3x-4x^3 $$

となる。

また、

$$ \cos36^\circ=1-2\sin^218^\circ=1-2x^2 $$

であるから、

$$ 1-2x^2=3x-4x^3 $$

すなわち、

$$ 4x^3-2x^2-3x+1=0 $$

を得る。これを因数分解すると、

$$ (x-1)(4x^2+2x-1)=0 $$

である。

ここで $x=\sin18^\circ$ だから $0<x<1$ であり、$x=1$ ではない。したがって、

$$ 4x^2+2x-1=0 $$

を解けばよい。

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8} =\frac{-2\pm2\sqrt5}{8} =\frac{-1\pm\sqrt5}{4} $$

このうち正の値をとるので、

$$ x=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

したがって、

$$ \sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、三倍角公式を自分で導いて使うことである。

（1） は加法定理から機械的に整理すればよく、特に $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を使って $\sin\theta$ の三次式にまとめるのが核心である。

（2） は $36^\circ$ と $54^\circ$ が余角の関係にあることを見抜けるかどうかである。

（3） では （1） と （2） をつなげることで $\sin18^\circ$ の満たす方程式が得られる。途中で不要な解 $x=1$ が出るが、$\sin18^\circ$ は $0$ と $1$ の間にあることを用いて適切に除く必要がある。

答え

**(1)**

$$ \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta $$

**(2)**

$\theta=18^\circ$ のとき、

$$ \cos2\theta=\sin3\theta $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4} $$