解説

方針・初手

与えられた不等式は、加法定理で $\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ を展開すると、$\cos\theta,\sin\theta$ の一次式になる。

その後、これを $R\cos(\theta-\alpha)$ の形にまとめれば、$\cos x>0$ となる範囲の問題に直せる。

解法1

加法定理より、

$$ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\theta\cos\frac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta $$

である。したがって、与えられた不等式

$$ \cos\theta+\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)>0 $$

は

$$ \cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta>0 $$

すなわち

$$ \frac{3}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta>0 $$

となる。

ここで、

$$ \sqrt{3}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) =\sqrt{3}\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{6}\right) =\frac{3}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta $$

であるから、不等式は

$$ \sqrt{3}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)>0 $$

すなわち

$$ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)>0 $$

と同値である。

$\cos x>0$ となるのは

$$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

のときである。よって

$$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi<\theta-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}+2k\pi $$

より

$$ -\frac{\pi}{3}+2k\pi<\theta<\frac{2\pi}{3}+2k\pi $$

を得る。

ここで、$-\pi\leqq\theta<\pi$ であるから、この範囲に入るのは $k=0$ の場合のみであり、

$$ -\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{2\pi}{3} $$

となる。

解説

$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ をそのまま扱うより、まず加法定理で展開し、$\cos\theta,\sin\theta$ の形にそろえるのが基本である。

その後、$a\cos\theta+b\sin\theta$ を $R\cos(\theta-\alpha)$ に直すと、三角不等式は $\cos x>0$ の標準問題になる。ここで最後に、与えられた範囲 $-\pi\leqq\theta<\pi$ との共通部分をきちんと取ることが重要である。

答え

$$ -\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{2\pi}{3} $$