解説

方針・初手

与えられた $ \cos\alpha+\cos\beta $ と $ \sin\alpha+\sin\beta $ から、まず和の平方

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2 $$

を考えると、$\cos(\alpha-\beta)$ が現れる。

さらに

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2-(\sin\alpha+\sin\beta)^2 $$

を考えると、$\cos(\alpha+\beta)$ が現れるので、（2） の恒等式と （1） の結果を使えば （3） まで一気に求められる。

解法1

**(1)**

$\cos(\alpha-\beta)$ を求める。

与式より

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2 =\left(\frac12\right)^2+\left(\frac13\right)^2 =\frac{13}{36} $$

である。

一方、左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2 &=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\beta\\ &\quad+2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ &=2+2\cos(\alpha-\beta). \end{aligned} $$

よって

$$ 2+2\cos(\alpha-\beta)=\frac{13}{36} $$

となるから、

$$ 2\cos(\alpha-\beta)=\frac{13}{36}-2=-\frac{59}{36} $$

したがって

$$ \cos(\alpha-\beta)=-\frac{59}{72} $$

である。

（2） 一般に

$$ \cos2x+\cos2y=2\cos(x+y)\cos(x-y) $$

が成り立つことを示す。

加法定理より

$$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y, \qquad \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2\cos(x+y)\cos(x-y) &=2(\cos x\cos y-\sin x\sin y)(\cos x\cos y+\sin x\sin y)\\ &=2(\cos^2x\cos^2y-\sin^2x\sin^2y). \end{aligned} $$

ここで

$$ \begin{aligned} 2(\cos^2x\cos^2y-\sin^2x\sin^2y) &=2\cos^2x\cos^2y+2\cos^2x\sin^2y\\ &\quad-2\sin^2x\sin^2y-2\cos^2x\sin^2y\\ &=2\cos^2x(\cos^2y+\sin^2y)-2\sin^2y(\sin^2x+\cos^2x)\\ &=2\cos^2x-2\sin^2y\\ &=(2\cos^2x-1)+(1-2\sin^2y)\\ &=\cos2x+\cos2y. \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \cos2x+\cos2y=2\cos(x+y)\cos(x-y) $$

が成り立つ。

**(3)**

$\cos(\alpha+\beta)$ を求める。

まず与式から

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2-(\sin\alpha+\sin\beta)^2 =\left(\frac12\right)^2-\left(\frac13\right)^2 =\frac{5}{36} $$

である。

左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (\cos\alpha+\cos\beta)^2-(\sin\alpha+\sin\beta)^2 &=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta-\sin^2\beta)\\ &\quad+2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ &=\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos(\alpha+\beta). \end{aligned} $$

ここで （2） を $x=\alpha,\ y=\beta$ に適用すると

$$ \cos2\alpha+\cos2\beta=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) $$

であるから、

$$ \frac{5}{36} =2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\alpha+\beta). $$

さらに （1） の結果

$$ \cos(\alpha-\beta)=-\frac{59}{72} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{5}{36} &=2\cos(\alpha+\beta)\left(-\frac{59}{72}+1\right)\\ &=2\cos(\alpha+\beta)\cdot\frac{13}{72}\\ &=\frac{13}{36}\cos(\alpha+\beta). \end{aligned} $$

よって

$$ \cos(\alpha+\beta)=\frac{5}{13} $$

である。

解説

この問題では、与えられているのが $\cos\alpha+\cos\beta$ と $\sin\alpha+\sin\beta$ なので、それらをそのまま二乗して処理するのが自然である。

特に

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2 $$

では $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$ が現れ、

$$ (\cos\alpha+\cos\beta)^2-(\sin\alpha+\sin\beta)^2 $$

では $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$ が現れる。

したがって、和と差の二乗を使い分けるのがこの問題の要点である。また （2） の恒等式は、（3） で $\cos2\alpha+\cos2\beta$ をまとめるための準備になっている。

答え

**(1)**

$$ \cos(\alpha-\beta)=-\frac{59}{72} $$

**(2)**

$$ \cos2x+\cos2y=2\cos(x+y)\cos(x-y) $$

**(3)**

$$ \cos(\alpha+\beta)=\frac{5}{13} $$