解説

方針・初手

与えられているのは $ \sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{4} $ である。

このとき

$$ \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left( \sin \theta \cos \theta \right)^2 = \frac{1}{16} $$

となるので、$x=\sin^2\theta$ とおけば $x(1-x)=\dfrac{1}{16}$ が得られる。 また、（2） は $\sin^2\theta,\cos^2\theta$ を文字で置くと整理しやすい。

解法1

**(1)**

$x=\sin^2\theta$ とおくと、

$$ \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta = 1-x $$

であるから、

$$ x(1-x)=\sin^2\theta \cos^2\theta=\frac{1}{16} $$

よって

$$ x-x^2=\frac{1}{16} $$

すなわち

$$ x^2-x+\frac{1}{16}=0 $$

これを解くと、

$$ x=\frac{1\pm\sqrt{1-\frac14}}{2} =\frac{1\pm\frac{\sqrt3}{2}}{2} =\frac{2\pm\sqrt3}{4} $$

したがって、

$$ \sin^2\theta=\frac{2+\sqrt3}{4},\ \frac{2-\sqrt3}{4} $$

である。

**(2)**

$a=\cos^2\theta,\ b=\sin^2\theta$ とおくと、

$$ a+b=1,\qquad ab=\frac{1}{16} $$

である。

与式は

$$ a^3-b^3-15a^2b+15ab^2 $$

と書ける。これを $(a-b)$ でくくると、

$$ a^3-b^3-15a^2b+15ab^2 =(a-b)(a^2+ab+b^2)-15ab(a-b) $$

したがって

$$ =(a-b)(a^2-14ab+b^2) $$

ここで

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-\frac18=\frac78 $$

より、

$$ a^2-14ab+b^2 =(a^2+b^2)-14ab =\frac78-\frac{14}{16} =\frac78-\frac78 =0 $$

よって与式の値は

$$ (a-b)\cdot 0=0 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta\cos\theta$ が与えられたら、まずその二乗から $\sin^2\theta\cos^2\theta$ を作ることである。

（1） では $\sin^2\theta$ を文字で置いて二次方程式に持ち込めばよい。 $\sin\theta\cos\theta=\dfrac14$ だけでは $\theta$ は一つに定まらないので、$\sin^2\theta$ も 2 つの値をとる。

（2） は高次式で見た目は複雑であるが、$\sin^2\theta,\cos^2\theta$ を $a,b$ とおくと対称式として処理できる。 特に $a+b=1,\ ab=\dfrac{1}{16}$ を使うのが基本である。

答え

**(1)**

$$ \sin^2\theta=\frac{2+\sqrt3}{4},\ \frac{2-\sqrt3}{4} $$

**(2)**

$$ 0 $$