基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題21 解説
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解説
方針・初手
$\tan \theta=a$ から、恒等式
$$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} $$
を用いてまず $\cos\theta$ の大きさを求める。
そのうえで、$90^\circ<\theta<180^\circ$ より $\theta$ は第2象限にあるので、$\cos\theta<0,\ \sin\theta>0$ という符号条件を使って決定する。
解法1
$\tan\theta=a$ であるから、
$$ \tan^2\theta=a^2 $$
である。三角比の恒等式
$$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} $$
に代入すると、
$$ 1+a^2=\frac{1}{\cos^2\theta} $$
したがって、
$$ \cos^2\theta=\frac{1}{1+a^2} $$
より、
$$ \cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $$
となる。
ここで $90^\circ<\theta<180^\circ$ より、$\theta$ は第2象限にあるから $\cos\theta<0$ である。よって、
$$ \cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $$
である。
次に、
$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=a $$
より、
$$ \sin\theta=a\cos\theta $$
したがって、
$$ \sin\theta=a\left(-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\right) =-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} $$
となる。
なお、第2象限では $\tan\theta<0$ であるから $a<0$ であり、この式は確かに $\sin\theta>0$ を満たしている。
解説
この問題では、$\tan\theta$ が与えられたときの基本恒等式
$$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} $$
を使うのが定石である。
ただし、$\cos\theta=\pm \dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ までは符号が定まらないので、最後は $\theta$ の存在する象限で符号を決める必要がある。第2象限では $\cos\theta<0,\ \sin\theta>0$ であることが重要である。
答え
$$ \cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\qquad \sin\theta=-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} $$
である。