解説

方針・初手

$\cos 3\theta$ を

$$ \cos 3\theta=\sin(90^\circ-3\theta) $$

と直すと、与式は

$$ \sin 2\theta=\sin(90^\circ-3\theta) $$

となる。まずこれから $0^\circ<\theta<90^\circ$ を満たす $\theta$ を求める。

その後、$\theta=18^\circ$ が得られるので、$\sin18^\circ$ は三倍角公式と余角の関係から求める。最後の積は

$$ \sin18^\circ\sin36^\circ\sin54^\circ\sin72^\circ $$

を既知の値に直して計算する。

解法1

**(1)**

与式は

$$ \sin2\theta=\cos3\theta $$

である。余角の関係より

$$ \cos3\theta=\sin(90^\circ-3\theta) $$

だから、

$$ \sin2\theta=\sin(90^\circ-3\theta) $$

となる。

$\sin A=\sin B$ であるから、

$$ A=B+360^\circ k \quad \text{または} \quad A=180^\circ-B+360^\circ k \qquad (k\in\mathbb Z) $$

を用いる。

まず

$$ 2\theta=90^\circ-3\theta+360^\circ k $$

より

$$ 5\theta=90^\circ+360^\circ k $$

したがって

$$ \theta=18^\circ+72^\circ k $$

である。$0^\circ<\theta<90^\circ$ を満たすのは $k=0$ のときで、

$$ \theta=18^\circ $$

を得る。

次に

$$ 2\theta=180^\circ-(90^\circ-3\theta)+360^\circ k $$

より

$$ 2\theta=90^\circ+3\theta+360^\circ k $$

すなわち

$$ \theta=-90^\circ-360^\circ k $$

であるが、これは $0^\circ<\theta<90^\circ$ を満たさない。

よって

$$ \theta=18^\circ $$

である。

**(2)**

$x=\sin18^\circ$ とおく。

三倍角公式

$$ \sin3u=3\sin u-4\sin^3u $$

を $u=18^\circ$ に用いると、

$$ \sin54^\circ=3x-4x^3 $$

である。一方、

$$ \sin54^\circ=\cos36^\circ=1-2\sin^218^\circ=1-2x^2 $$

だから、

$$ 3x-4x^3=1-2x^2 $$

すなわち

$$ 4x^3-2x^2-3x+1=0 $$

を得る。これを因数分解すると

$$ (x-1)(4x^2+2x-1)=0 $$

である。

$0^\circ<18^\circ<90^\circ$ より $0<x<1$ なので $x=1$ は不適である。したがって

$$ 4x^2+2x-1=0 $$

を解き、

$$ x=\frac{-1\pm\sqrt5}{4} $$

を得る。正の値をとるから、

$$ \sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。

**(3)**

求める積は、(1) より

$$ \sin\theta\sin2\theta\sin3\theta\sin4\theta =\sin18^\circ\sin36^\circ\sin54^\circ\sin72^\circ $$

である。

ここで

$$ \sin54^\circ=\cos36^\circ,\qquad \sin72^\circ=\cos18^\circ $$

より、

$$ \begin{aligned} \sin18^\circ\sin36^\circ\sin54^\circ\sin72^\circ &=(\sin18^\circ\cos18^\circ)(\sin36^\circ\cos36^\circ)\\ &=\frac12\sin36^\circ\cdot \frac12\sin72^\circ\\ &=\frac14\sin36^\circ\sin72^\circ. \end{aligned} $$

さらに

$$ \sin36^\circ=2\sin18^\circ\cos18^\circ $$

であり、上の式から

$$ \sin36^\circ\sin72^\circ =2\sin18^\circ\cos18^\circ\cdot 2\sin36^\circ\cos36^\circ $$

と進めてもよいが、ここでは

$$ \sin36^\circ\sin72^\circ =\frac{\cos36^\circ-\cos108^\circ}{2} $$

を用いる。$\cos108^\circ=-\cos72^\circ$ だから、

$$ \sin36^\circ\sin72^\circ =\frac{\cos36^\circ+\cos72^\circ}{2}. $$

また

$$ \cos36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4},\qquad \cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

であるから、

$$ \sin36^\circ\sin72^\circ =\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt5}{4} =\frac{\sqrt5}{4}. $$

したがって

$$ \sin18^\circ\sin36^\circ\sin54^\circ\sin72^\circ =\frac14\cdot\frac{\sqrt5}{4} =\frac{\sqrt5}{16}. $$

解説

この問題では、$\cos3\theta$ を $\sin(90^\circ-3\theta)$ と見ることで、最初の方程式を $\sin A=\sin B$ の形に直すのが出発点である。

$\theta=18^\circ$ が決まった後は、$\sin18^\circ$ を三倍角公式から求める。最後の積は余角の関係で

$$ \sin54^\circ=\cos36^\circ,\qquad \sin72^\circ=\cos18^\circ $$

と直すと、積和公式を使って簡潔に計算できる。

答え

**(1)**

$$ \theta=18^\circ $$

**(2)**

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

**(3)**

$$ \sin\theta\sin2\theta\sin3\theta\sin4\theta=\frac{\sqrt5}{16} $$