解説

方針・初手

$\alpha+\beta$ を直接求めるには、加法定理を使って $\tan(\alpha+\beta)$ を調べるのが最も速い。

そのために、$\tan\alpha=\dfrac17$ から $\tan\beta$ を求め、加法公式 $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ を用いる。

解法1

$\sin\beta=\dfrac35$ であり、$0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ だから $\cos\beta>0$ である。したがって、

$$ \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta} =\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\frac45 $$

よって、

$$ \tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta} =\frac{3/5}{4/5} =\frac34 $$

ここで $\tan\alpha=\dfrac17$ より、加法公式を使うと

$$ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{\frac17+\frac34}{1-\frac17\cdot\frac34} $$

分子と分母を計算すると、

$$ \frac17+\frac34=\frac{4+21}{28}=\frac{25}{28}, \qquad 1-\frac17\cdot\frac34=1-\frac{3}{28}=\frac{25}{28} $$

したがって、

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{25/28}{25/28}=1 $$

また、

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\quad 0<\beta<\frac{\pi}{2} $$

より、

$$ 0<\alpha+\beta<\pi $$

この範囲で $\tan\theta=1$ を満たすのは $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ であるから、

$$ \alpha+\beta=\frac{\pi}{4} $$

解説

この問題の要点は、与えられた $\tan\alpha$ と $\sin\beta$ から、加法公式を使える形に持ち込むことである。

特に $\sin\beta$ だけが与えられているときは、まず $\cos\beta$ を求めて $\tan\beta$ に直すのが典型処理である。そのうえで $\tan(\alpha+\beta)$ を計算すると、値がちょうど $1$ になり、角の範囲から $\alpha+\beta$ が一意に定まる。

答え

$$ \alpha+\beta=\frac{\pi}{4} $$