解説

方針・初手

不等式を $\cos$ の基本形に直し，$x=3\theta+\dfrac{\pi}{4}$ とおく。すると $\theta$ の範囲から $x$ の動く範囲も決まり，あとは $\cos x\le -\dfrac{1}{2}$ を満たす区間との共通部分を取ればよい。

解法1

与えられた不等式は

$$ 2\cos\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)+1\le 0 $$

であるから，

$$ \cos\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\le -\frac{1}{2} $$

となる。

ここで

$$ x=3\theta+\frac{\pi}{4} $$

とおく。

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}$ より，

$$ -\frac{5\pi}{4} =3\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4} \le x \le 3\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4} =\frac{7\pi}{4} $$

である。

一方，$\cos x\le -\dfrac12$ となるのは，1周期 $0\le x<2\pi$ では

$$ \frac{2\pi}{3}\le x\le \frac{4\pi}{3} $$

であり，周期 $2\pi$ を考えると

$$ \frac{2\pi}{3}+2k\pi \le x \le \frac{4\pi}{3}+2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z}) $$

である。

これを $-\dfrac{5\pi}{4}\le x\le \dfrac{7\pi}{4}$ と合わせると，

$$ -\frac{5\pi}{4}\le x\le -\frac{2\pi}{3} \quad \text{または} \quad \frac{2\pi}{3}\le x\le \frac{4\pi}{3} $$

となる。

これを $x=3\theta+\dfrac{\pi}{4}$ に戻す。

**(i)**

$-\dfrac{5\pi}{4}\le x\le -\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

$$ -\frac{5\pi}{4}\le 3\theta+\frac{\pi}{4}\le -\frac{2\pi}{3} $$

より，

$$ -\frac{3\pi}{2}\le 3\theta \le -\frac{11\pi}{12} $$

したがって，

$$ -\frac{\pi}{2}\le \theta \le -\frac{11\pi}{36} $$

である。

**(ii)**

$\dfrac{2\pi}{3}\le x\le \dfrac{4\pi}{3}$ のとき

$$ \frac{2\pi}{3}\le 3\theta+\frac{\pi}{4}\le \frac{4\pi}{3} $$

より，

$$ \frac{5\pi}{12}\le 3\theta \le \frac{13\pi}{12} $$

したがって，

$$ \frac{5\pi}{36}\le \theta \le \frac{13\pi}{36} $$

である。

以上より，求める $\theta$ の範囲は

$$ -\frac{\pi}{2}\le \theta \le -\frac{11\pi}{36} \quad \text{または} \quad \frac{5\pi}{36}\le \theta \le \frac{13\pi}{36} $$

である。

解説

この問題の要点は，三角不等式をそのまま扱わず，まず $\cos$ の基本形 $\cos x\le -\dfrac12$ に直すことである。そのうえで $x=3\theta+\dfrac{\pi}{4}$ とおけば，$\theta$ の範囲制限も $x$ の範囲制限に移るので，単位円またはグラフで既知の区間と共通部分を取るだけでよい。

$3\theta+\dfrac{\pi}{4}$ のように角が線形変換されているときは，先に新しい文字で置き換えるのが最も整理しやすい。

答え

$$ -\frac{\pi}{2}\le \theta \le -\frac{11\pi}{36} \quad \text{または} \quad \frac{5\pi}{36}\le \theta \le \frac{13\pi}{36} $$