解説

方針・初手

$\cos^2$ の和なので、まず

$$ \cos^2 \theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2} $$

を用いて一次の三角関数の和に直すのが自然である。すると、残るのは角の和の公式で処理できる形になる。

解法1

求める値を

$$ S=\cos^2\frac{\pi}{18}+\cos^2\frac{7\pi}{18}+\cos^2\frac{13\pi}{18} $$

とおく。

$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1+\cos\frac{\pi}{9}}{2} +\frac{1+\cos\frac{7\pi}{9}}{2} +\frac{1+\cos\frac{13\pi}{9}}{2} \\ &=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{9}+\cos\frac{7\pi}{9}+\cos\frac{13\pi}{9}\right). \end{aligned} $$

ここで、

$$ \cos\frac{7\pi}{9}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{9}\right)=-\cos\frac{2\pi}{9}, \qquad \cos\frac{13\pi}{9}=\cos\left(\pi+\frac{4\pi}{9}\right)=-\cos\frac{4\pi}{9} $$

より、

$$ S=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{4\pi}{9}\right). $$

したがって、あとは

$$ \cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{4\pi}{9} $$

を求めればよい。

ここで、和積の公式

$$ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$

を $A=\dfrac{2\pi}{9},\ B=\dfrac{4\pi}{9}$ に適用すると、

$$ \cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9} =2\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{9} =\cos\frac{\pi}{9} $$

となる。

よって

$$ \cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{4\pi}{9}=0 $$

であり、

$$ S=\frac{3}{2}. $$

解説

この問題の要点は、$\cos^2$ のまま扱わずに半角公式で一次の三角関数へ落とすことである。すると角が $\dfrac{\pi}{9},\dfrac{2\pi}{9},\dfrac{4\pi}{9}$ と並び、和積の公式で

$$ \cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}=\cos\frac{\pi}{9} $$

が出てきてきれいに打ち消し合う。

計算そのものは短いが、最初に $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ を使う発想が中心である。

答え

$$ \frac{3}{2} $$