解説

方針・初手

どちらも「$\cos$どうしの等式」であるから、片方を移項して

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

を用いて積の形に直すのが自然である。すると、あとは各因子が $0$ となる場合を、与えられた範囲 $0\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}$、$0\leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の中で調べればよい。

解法1

**(1)**

$\cos\alpha=\cos3\alpha$ を解く。

両辺を移項すると

$$ \cos\alpha-\cos3\alpha=0 $$

である。ここで和積の公式を用いると

$$ \cos\alpha-\cos3\alpha =-2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} =-2\sin2\alpha\sin(-\alpha) =2\sin2\alpha\sin\alpha $$

となる。したがって

$$ 2\sin2\alpha\sin\alpha=0 $$

より

$$ \sin2\alpha=0 \quad \text{または} \quad \sin\alpha=0 $$

である。

まず、$\sin\alpha=0$ より

$$ \alpha=0 $$

である。

次に、$\sin2\alpha=0$ より

$$ 2\alpha=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

したがって

$$ \alpha=\frac{n\pi}{2} $$

である。ここで $0\leqq\alpha\leqq\dfrac{\pi}{2}$ だから、

$$ \alpha=0,\ \frac{\pi}{2} $$

を得る。

よって、（1） の解は

$$ \alpha=0,\ \frac{\pi}{2} $$

である。

**(2)**

$\cos2\beta=\cos4\beta$ を解く。

同様に移項して

$$ \cos2\beta-\cos4\beta=0 $$

とする。和積の公式より

$$ \cos2\beta-\cos4\beta =-2\sin\frac{2\beta+4\beta}{2}\sin\frac{2\beta-4\beta}{2} =-2\sin3\beta\sin(-\beta) =2\sin3\beta\sin\beta $$

したがって

$$ 2\sin3\beta\sin\beta=0 $$

より

$$ \sin3\beta=0 \quad \text{または} \quad \sin\beta=0 $$

である。

まず、$\sin\beta=0$ より

$$ \beta=0 $$

である。

次に、$\sin3\beta=0$ より

$$ 3\beta=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

したがって

$$ \beta=\frac{n\pi}{3} $$

である。ここで $0\leqq\beta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ だから、

$$ \beta=0,\ \frac{\pi}{3} $$

を得る。

よって、（2） の解は

$$ \beta=0,\ \frac{\pi}{3} $$

である。

解説

$\cos A=\cos B$ をそのまま扱うより、$\cos A-\cos B$ にして和積の公式を使うと、積が $0$ となる形に直せるので処理が安定する。

特にこの問題では、範囲が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までに制限されているため、$\sin kx=0$ から得られる候補をその範囲内で丁寧に拾えばよい。解の重複として $0$ が両方から出る点にも注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ \alpha=0,\ \frac{\pi}{2} $$

**(2)**

$$ \beta=0,\ \frac{\pi}{3} $$