解説

方針・初手

左辺を $a\sin x+b\cos x$ の形と見て、合成して $2\sin(x-\theta)$ の形に直すのが基本方針である。 すると、あとは単純な三角方程式に帰着できる。

解法1

与式

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x=1 $$

の左辺を合成する。

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x =2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) =2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) $$

したがって、与式は

$$ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1 $$

すなわち

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} $$

となる。

ここで、$\sin \theta=\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi} $$

であるから、

$$ x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi} $$

より

$$ x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6} \pmod{2\pi} $$

を得る。

さらに、$0\le x<2\pi$ より、

$$ x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6} $$

である。

したがって、$x=\dfrac{\pi}{2}$ と $x=[1]$ であるから、

$$ [1]=\frac{7\pi}{6} $$

となる。

解説

$\sin x-\sqrt{3}\cos x$ のような式は、加法定理を逆に用いて合成するのが典型である。 係数 $1,\ -\sqrt{3}$ から、合成後の振幅は

$$ \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2 $$

となるので、$2\sin(x-\frac{\pi}{3})$ と見抜ければ一気に解ける。 この問題では、解を求めたあとに範囲 $0\le x<2\pi$ で絞ることも忘れてはならない。

答え

$$ [1]=\frac{7\pi}{6} $$