解説

方針・初手

一般角の $\sin\theta,\cos\theta$ は、単位円上の点の座標で定義する。

加法定理は、座標軸を $\beta$ だけ回転した座標系を考えると自然に出る。ある点の座標を、元の座標系と回転後の座標系の二通りで表し、その成分を比較すればよい。

解法1

**(1)**

座標平面において、原点を $O$、半径 $1$ の円

$$ x^2+y^2=1 $$

を単位円とする。

正の $x$ 軸を始線とし、これから角 $\theta$ だけ回転して得られる終辺と単位円との交点を $P(x,y)$ とする。このとき

$$ \cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y $$

と定める。すなわち、一般角 $\theta$ に対して、$\cos\theta$ は終辺と単位円の交点の $x$ 座標、$\sin\theta$ はその $y$ 座標である。

**(2)**

原点を $O$ とし、単位円上で偏角が $\alpha+\beta$ である点を $P$ とする。したがって、もとの $xy$ 座標系では

$$ \overrightarrow{OP}=(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta)) $$

である。

ここで、もとの座標軸を反時計回りに $\beta$ だけ回転した新しい座標系 $x'y'$ を考える。すると、$x'$ 軸方向の単位ベクトルは

$$ (\cos\beta,\sin\beta) $$

であり、これに垂直な $y'$ 軸方向の単位ベクトルは

$$ (-\sin\beta,\cos\beta) $$

である。

点 $P$ の偏角はもとの座標系では $\alpha+\beta$ であるから、回転後の座標系 $x'y'$ から見れば、その偏角は $\alpha$ である。よって、定義より $P$ の $x'y'$ 座標は

$$ (\cos\alpha,\sin\alpha) $$

となる。したがって、$\overrightarrow{OP}$ は

$$ \overrightarrow{OP} =\cos\alpha,(\cos\beta,\sin\beta)+\sin\alpha,(-\sin\beta,\cos\beta) $$

と表される。右辺を成分ごとに計算すると

$$ \overrightarrow{OP} =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) $$

である。

一方、先に見たように

$$ \overrightarrow{OP}=(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta)) $$

でもあるから、各成分を比較して

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

および

$$ \sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta $$

を得る。後者は積の順序を入れ替えれば

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

である。これで示された。

解説

この問題の要点は、一般角の三角比を「単位円上の点の座標」として捉えることである。

加法定理をそのまま計算で出そうとすると見通しが悪いが、座標軸を $\beta$ だけ回転した座標系を導入すると、同じ点 $P$ が回転後の座標系では角 $\alpha$ をもつ点になる。そのため、$P$ の座標が

$$ (\cos\alpha,\sin\alpha) $$

を用いて表せるようになり、加法定理が成分比較だけで導かれる。

つまり、加法定理は「回転した座標系で同じ点を見る」という幾何学的事実を式にしたものである。

答え

**(1)**

単位円 $x^2+y^2=1$ において、正の $x$ 軸から角 $\theta$ だけ回転して得られる終辺と単位円との交点を $P(x,y)$ とするとき、

$$ \cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y $$

と定義する。

**(2)**

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

が成り立つ。