解説

方針・初手

$A$ は半径 $1$ の円周上にあり、$\angle AOx=\theta$ であるから、

$$ A=(\cos\theta,\sin\theta) $$

とおける。

正方形が円に内接しているので、隣り合う頂点は中心 $O$ から見て $90^\circ$ ずつずれる。したがって、各頂点の座標は $A$ を $90^\circ$ ずつ回転させればよい。

以下、簡単のため

$$ \cos\theta=c,\quad \sin\theta=s $$

とおく。ただし $0^\circ<\theta<90^\circ$ であるから $c>0,\ s>0$ である。

解法1

まず、正方形の各頂点は

$$ A=(c,s),\quad B=(-s,c),\quad C=(-c,-s),\quad D=(s,-c) $$

である。

（1） 2点 $A,D$ の座標

したがって、

$$ A=(\cos\theta,\sin\theta),\quad D=(\sin\theta,-\cos\theta) $$

である。

（2） 線分 $AD$ と $x$ 軸の交点 $E$

直線 $AD$ は $A(c,s),\ D(s,-c)$ を通るから、その方程式は

$$ (c+s)x+(s-c)y=1 $$

となる。実際、$A,D$ を代入するとどちらも左辺は $c^2+s^2=1$ になる。

$E$ は $x$ 軸上の点なので $y=0$ を代入すればよい。すると

$$ (c+s)x=1 $$

より、

$$ x=\frac{1}{c+s} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} E\left(\frac{1}{c+s},0\right) &= \left(\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta},0\right) \end{aligned} $$

となる。

（3） 線分 $AB$ と $y$ 軸の交点を $F$ とするとき、$\triangle FOA$ の面積

直線 $AB$ は $A(c,s),\ B(-s,c)$ を通るから、その方程式は

$$ (c-s)x+(c+s)y=1 $$

である。$F$ は $y$ 軸上の点なので $x=0$ を代入すると

$$ (c+s)y=1 $$

より、

$$ F\left(0,\frac{1}{c+s}\right) $$

となる。

ここで、$\triangle FOA$ は、底辺を $OF$ とみると、

$$ OF=\frac{1}{c+s} $$

であり、点 $A$ から $y$ 軸までの距離は $c$ である。したがって面積は

$$ \begin{aligned} \frac12\cdot OF\cdot c &= \frac12\cdot \frac{1}{c+s}\cdot c \\ \frac{c}{2(c+s)} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \triangle FOA \text{ の面積 }= \frac{\cos\theta}{2(\sin\theta+\cos\theta)} $$

である。

（4） 線分 $OH$ の長さの最小値と、そのときの $\tan\theta$

まず、$C,D$ の中点 $G$ は

$$ \begin{aligned} G\left(\frac{-c+s}{2},\frac{-s-c}{2}\right) &= \left(\frac{s-c}{2},-\frac{s+c}{2}\right) \end{aligned} $$

である。

直線 $AG$ は $A(c,s)$ と $G\left(\frac{s-c}{2},-\frac{s+c}{2}\right)$ を通るから、その方程式は

$$ (c+3s)x+(s-3c)y=1 $$

となる。実際、$A$ を代入すると

$$ (c+3s)c+(s-3c)s=c^2+s^2=1 $$

であり、$G$ を代入しても同様に左辺は $1$ になる。

$H$ はこの直線と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を代入して

$$ (c+3s)x=1 $$

より、

$$ H\left(\frac{1}{c+3s},0\right) $$

となる。したがって

$$ OH=\frac{1}{c+3s} =\frac{1}{\cos\theta+3\sin\theta} $$

である。

よって、$OH$ の最小値を求めるには、$\cos\theta+3\sin\theta$ の最大値を求めればよい。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (\cos\theta+3\sin\theta)^2 \le (1^2+3^2)(\cos^2\theta+\sin^2\theta) =10 $$

であるから、

$$ \cos\theta+3\sin\theta\le \sqrt{10} $$

となる。したがって

$$ OH\ge \frac{1}{\sqrt{10}} $$

であり、最小値は

$$ \frac{1}{\sqrt{10}} $$

である。

等号成立は

$$ \cos\theta:\sin\theta=1:3 $$

のとき、すなわち

$$ \tan\theta=3 $$

のときである。

解説

この問題の要点は、正方形が円に内接していることから、各頂点が中心角 $90^\circ$ ずつずれた点になると見ることである。すると、$A$ を $(\cos\theta,\sin\theta)$ とおけば、他の頂点もすぐに決まる。

その後は、必要な直線の方程式を立てて座標を求めればよい。特に、各直線の方程式で右辺が $1$ になるのは、円の半径が $1$ であり

$$ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$

が使えるからである。

最後の最小値問題は、座標を求めたあとで $OH$ を $\cos\theta,\sin\theta$ の式に直し、線形結合 $\cos\theta+3\sin\theta$ の最大値に帰着させるのが基本である。

答え

**(1)**

$$ A=(\cos\theta,\sin\theta),\quad D=(\sin\theta,-\cos\theta) $$

**(2)**

$$ E\left(\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta},0\right) $$

**(3)**

$$ \triangle FOA \text{ の面積 }= \frac{\cos\theta}{2(\sin\theta+\cos\theta)} $$

**(4)**

$$ OH \text{ の最小値 }=\frac{1}{\sqrt{10}} $$

そのとき

$$ \tan\theta=3 $$