解説

注意

問題文の数値をそのまま用いると、(R_2) は (R_1) より約 (2.92%) 短い。したがって「(3%) 以上短くなる」は厳密には成り立たない。以下、その計算を示す。

方針・初手

(R_1) は北緯 (60^\circ) の緯線上の弧の長さであり、その円の半径は地球半径の (\cos60^\circ=\frac12) 倍である。

一方、(R_2) は大円上の最短経路なので、地球の中心角 (\theta=\angle AOB) を求めれば、その長さは (r\theta) と表せる。したがって、両者の長さをそれぞれ求めて比較すればよい。

解法1

地球の半径を (r) とする。

点 (A,B) はともに北緯 (60^\circ) にあり、経度差は

$$ 130^\circ-75^\circ=55^\circ $$

である。

まず (R_1) を求める。北緯 (60^\circ) の緯線は半径

$$ r\cos60^\circ=\frac r2 $$

の円である。したがって、この円周上を (55^\circ) だけ進む弧の長さは

$$ R_1=\frac{55}{360}\cdot 2\pi\cdot \frac r2 =\frac{55\pi r}{360} $$

である。

次に (R_2) を求める。(O) を地球の中心とし、(\theta=\angle AOB) とおくと、(R_2=r\theta) である。

同じ緯度 (\varphi=60^\circ) にある2点の中心角 (\theta) は

$$ \cos\theta =\sin\varphi\sin\varphi+\cos\varphi\cos\varphi\cos55^\circ $$

を満たすから、

$$ \cos\theta =\sin^2 60^\circ+\cos^2 60^\circ\cos55^\circ =\frac34+\frac14\cos55^\circ $$

となる。

三角関数表より

$$ \cos55^\circ\approx 0.5736 $$

であるから、

$$ \cos\theta \approx \frac34+\frac14\cdot 0.5736=0.8934 $$

となる。よって

$$ \theta \approx 26.7^\circ $$

である。

したがって

$$ R_2=r\cdot \frac{26.7\pi}{180} $$

である。

ここで比をとると、

$$ \frac{R_2}{R_1} =\frac{26.7\pi/180}{55\pi/360} =\frac{26.7}{27.5} \approx 0.9709 $$

となる。よって

$$ 1-\frac{R_2}{R_1}\approx 1-0.9709=0.0291 $$

であり、(R_2) は (R_1) より約 (2.9%) 短い。

さらに電卓で少し正確に計算すると、

$$ \theta=\arccos!\left(\frac34+\frac14\cos55^\circ\right)\approx 26.697^\circ $$

なので、

$$ 1-\frac{R_2}{R_1} =1-\frac{26.697}{27.5} \approx 0.0292 $$

となる。したがって短くなる割合は約 (2.92%) である。

解説

この問題では、「同一緯度を飛ぶ経路」は大円ではないことが重要である。北緯 (60^\circ) の緯線は地球の中心を通らない小円であり、その半径は地球半径の半分になる。

一方、大円航路は地球上の最短経路であるから、中心角 (\theta) を求めればよい。したがって、(R_1) は緯線の半径を使って求め、(R_2) は中心角を使って求める、という方針になる。

なお、問題文の数値をそのまま用いると、結論は「(3%) 以上」ではなく「約 (2.92%)」である。

答え

$$ R_1=\frac{55\pi r}{360},\qquad R_2=r\arccos!\left(\frac34+\frac14\cos55^\circ\right) $$

であり、

$$ \frac{R_2}{R_1}\approx 0.9708 $$

となる。したがって、(R_2) は (R_1) より約 (2.92%) 短い。問題文の数値に従う限り、厳密には「(3%) 以上短い」とはならない。