解説

方針・初手

正 $n$ 角形が半径 $\dfrac12$ の円に内接しているとき、中心と隣り合う2頂点を結ぶと、中心角は $\dfrac{2\pi}{n}$ である。

したがって、1辺の長さは二等辺三角形を用いて

$$ 2\cdot \frac12 \sin\frac{\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n} $$

と表せる。これを用いて周の長さを求めればよい。

解法1

半径 $\dfrac12$ の円に内接する正 $n$ 角形を考える。

1辺を $s_n$ とすると、中心角は $\dfrac{2\pi}{n}$ であるから、1辺は弦の長さとして

$$ s_n=2\cdot \frac12 \sin\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi}{n} =\sin\frac{\pi}{n} $$

となる。

よって、周の長さ $L_n$ は

$$ L_n=n s_n=n\sin\frac{\pi}{n} $$

である。

これを各場合に当てはめる。

（1） 正方形の場合

$$ L_4=4\sin\frac{\pi}{4} =4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2} $$

したがって、$[\text{ク}]=2$ である。

（2） 正6角形の場合

$$ L_6=6\sin\frac{\pi}{6} =6\cdot \frac12 =3 $$

したがって、$[\text{ケ}]=3$ である。

（3） 正12角形の場合

$$ L_{12}=12\sin\frac{\pi}{12} $$

ここで

$$ \sin\frac{\pi}{12} =\sin 15^\circ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $$

であるから、

$$ L_{12} =12\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} =3(\sqrt{6}-\sqrt{2}) $$

となる。

したがって、$[\text{コ}]=6,\ [\text{サ}]=2$ である。

以上より、一般の正 $n$ 角形の場合の周の長さは

$$ n\sin\frac{\pi}{n} $$

であるから、$[(\text{あ})]=n\sin\dfrac{\pi}{n}$ となる。

解説

この問題の本質は、正多角形の1辺を「弦の長さ」と見て、中心角の半分を用いて表すことである。

半径が $\dfrac12$ なので、弦の長さの公式

$$ 2R\sin\frac{\theta}{2} $$

において $R=\dfrac12$ を代入すると、1辺がそのまま

$$ \sin\frac{\pi}{n} $$

となり、計算が非常に簡潔になる。

答え

$$ [\text{ク}]=2,\qquad [\text{ケ}]=3,\qquad [\text{コ}]=6,\qquad [\text{サ}]=2 $$

$$ [(\text{あ})]=n\sin\frac{\pi}{n} $$