解説

方針・初手

左辺には $\sin 2\theta$ と $\cos^2\theta,\cos\theta$ が含まれているので、まず $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ を用いて $\cos\theta$ をくくり出す。

すると、$\cos\theta=0$ の場合と、残りの三角方程式を解く場合に分けられる。

解法1

与えられた方程式は

$$ \sin 2\theta-2\sqrt{3}\cos^2\theta-2\sqrt{2}\cos\theta=0 $$

である。

まず $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ 2\sin\theta\cos\theta-2\sqrt{3}\cos^2\theta-2\sqrt{2}\cos\theta=0 $$

となる。ここで $2\cos\theta$ をくくると、

$$ 2\cos\theta\left(\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta-\sqrt{2}\right)=0 $$

を得る。よって、

$$ \cos\theta=0 \quad \text{または} \quad \sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=\sqrt{2} $$

である。

**(i)**

$\cos\theta=0$ のとき

$$ 0\leqq \theta\leqq \pi $$

より、

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

である。

**(ii)**

$\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=\sqrt{2}$ のとき

左辺を合成すると、

$$ \sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta =2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) $$

であるから、

$$ 2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2} $$

すなわち

$$ \sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

となる。

ここで

$$ 0\leqq \theta\leqq \pi $$

より

$$ -\frac{\pi}{3}\leqq \theta-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2\pi}{3} $$

である。この範囲で

$$ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

を満たすのは

$$ x=\frac{\pi}{4} $$

のみである。したがって、

$$ \theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4} $$

より

$$ \theta=\frac{7\pi}{12} $$

を得る。

以上より、求める $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{12} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin 2\theta$ を $2\sin\theta\cos\theta$ に直して因数分解することである。

無理に $\cos\theta$ や $\sin\theta$ だけの式にしようとすると見通しが悪くなるが、$\cos\theta$ をくくるとすぐに場合分けできる。その後の

$$ \sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta $$

は三角関数の合成の典型形であり、

$$ a\sin\theta+b\cos\theta $$

の形を見たら合成を考えるのが基本である。

答え

$$ \theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{12} $$