基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題34 解説
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解説
方針・初手
$2\sin(x-\alpha)$ を加法定理で展開し、$\sin x$ と $\cos x$ の係数を比較する。 すると $\alpha$ が決まり、あとは $f(x)=2\sin(x-\alpha)$ の最大値をとる条件 $\sin(x-\alpha)=1$ を用いればよい。
解法1
加法定理より、
$$ 2\sin(x-\alpha)=2(\sin x\cos\alpha-\cos x\sin\alpha) $$
である。したがって、
$$ 2\sin(x-\alpha)=(2\cos\alpha)\sin x-(2\sin\alpha)\cos x $$
となる。
これが
$$ f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x $$
に一致するので、係数を比較して
$$ 2\cos\alpha=1,\qquad 2\sin\alpha=\sqrt{3} $$
を得る。
よって、
$$ \cos\alpha=\frac{1}{2},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} $$
であり、しかも $0\leqq \alpha<\pi$ だから、
$$ \alpha=\frac{\pi}{3} $$
である。
次に、
$$ f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) $$
であるから、$f(x)$ が最大となるのは
$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1 $$
のときである。
したがって、
$$ x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$
より、
$$ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi $$
となる。ここで $0\leqq x\leqq 2\pi$ より、
$$ x=\frac{5\pi}{6} $$
である。
解説
この問題の要点は、三角関数の合成を「係数比較」で処理することである。 $A\sin x+B\cos x$ を $R\sin(x-\alpha)$ の形に直すと、最大値・最小値やそのときの $x$ がすぐ分かる。
今回は $\alpha$ の範囲が $0\leqq \alpha<\pi$ と指定されているので、$\sin\alpha,\cos\alpha$ の符号も含めて $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ と一意に定まる。
答え
**(ア)**
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
**(イ)**
$\displaystyle \frac{5\pi}{6}$