解説

方針・初手

$\tan \alpha$ と $\tan \beta$ が与えられているので、加法定理

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$

を用いて $\alpha+\beta$ の正接を求めるのが最も直接的である。

解法1

与えられた条件より、

$$ \tan\alpha=\frac{1}{5},\qquad \tan\beta=\frac{2}{3} $$

であるから、

$$ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{\frac{1}{5}+\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}} $$

となる。

分子・分母をそれぞれ計算すると、

$$ \frac{1}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3}{15}+\frac{10}{15}=\frac{13}{15}, \qquad 1-\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15} $$

であるから、

$$ \tan(\alpha+\beta) =\frac{\frac{13}{15}}{\frac{13}{15}} =1 $$

を得る。

ここで、$0^\circ<\alpha,\beta<90^\circ$ より

$$ 0^\circ<\alpha+\beta<180^\circ $$

である。

この範囲で $\tan\theta=1$ となる角は

$$ \theta=45^\circ $$

であるから、

$$ \alpha+\beta=45^\circ $$

となる。

解説

この問題では、個々の角 $\alpha,\beta$ を求める必要はない。和 $\alpha+\beta$ を求めたいので、$\tan$ の加法定理をそのまま使えばよい。

また、$\tan(\alpha+\beta)=1$ だけでは角は一般に $45^\circ+180^\circ n$ と表されるが、今回は $0^\circ<\alpha+\beta<180^\circ$ であることから $45^\circ$ に絞られる点が重要である。

答え

$$ \boxed{45} $$

したがって、

$$ \alpha+\beta=[④]^\circ=45^\circ $$